Kan iemand eens controleren of mijn oplossingen van de 1D tijdsonafhankelijke Schrödingervgl juist zijn?
\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}(E-U)\psi=0\)
1) Oneindig diepe potentiaalput:Voor x in [0,L] is U=0 :
Vgl:
\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}E\psi=0\)
Algemene Oplossing: \(\psi(x)=A sin(kx) + B cos(kx)\)
met \(k=\frac{\sqrt{2mE}}{h/(2\pi)}\)
Randvoorwaarden: \(\psi(0)=0\)
en \(\psi(L)=0\)
Opl: \(\psi(x)=A sin(\frac{\pi n x}{L})\)
met A te vinden door normeringsvoorwaarde: A = wortel(2/L)2) Eindig diepe potentiaalput:
2.a Voor x in [0,L] is U=0 en voor x daarbuiten is U>E :
Vgl:
\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}(E-U)\psi=0\)
Hierbij hebben we 3 gebieden, in volgorde van links naar rechts: I, II en III.AO van gebied I:
\(\psi(x)=A exp(k'x) + B exp(-k'x)\)
AO van gebied II: \(\psi(x)=C sin(kx) + D cos(kx)\)
AO van gebied III: \(\psi(x)=E exp(k'x) + F exp(-k'x)\)
met \(k=\frac{\sqrt{2mE}}{h/(2\pi)}\)
en \(k'=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{h/(2\pi)}\)
Oplossing moet (fysisch gezien) eindig blijven voor x -> oneindig en x -> -oneindig, dus B=E=0 Randvoorwaarden:
Voor x=0 moet
\(\psi_I=\psi_{II}\)
en zo ook hun afgeleiden.Voor x=L moet
\(\psi_{II}=\psi_{III}\)
en zo ook hun afgeleiden.Samen met de normeringsvwd zijn de constanten te vinden.
2.b Voor x in [0,L] is U=0 en voor x daarbuiten is U<E :
Vgl:
\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}(E-U)\psi=0\)
Ook hierbij hebben we 3 gebieden, in volgorde van links naar rechts: I, II en III.AO van gebied I:
\(\psi(x)=A exp(ik'x) + B exp(-ik'x)\)
AO van gebied II: \(\psi(x)=C sin(kx) + D cos(kx)\)
AO van gebied III: \(\psi(x)=E exp(ik'x) + F exp(-ik'x)\)
met \(k=\frac{\sqrt{2mE}}{h/(2\pi)}\)
en \(k'=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{h/(2\pi)}\)
Randvoorwaarden:Voor x=0 moet
\(\psi_I=\psi_{II}\)
en zo ook hun afgeleiden.Voor x=L moet
\(\psi_{II}=\psi_{III}\)
en zo ook hun afgeleiden.Samen met de normeringsvwd zijn de constanten te vinden.
Mijn vraagjes:
*) Bij 2.b, kan je daar al enkele constanten schrappen? Zo ja, welke en waarom?
*) Mag je heel deze redenering doortrekken tot potentiaalvallen? Dus waar U=0 als oplossing
\(\psi(x)=C sin(kx) + D cos(kx)\)
gebruiken ed.?Alvast bedankt!
