Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen

[hendrik h]

Is ieder product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd.

De natuurlijke getallen zijn {n} = 1, 2, 3, 4, ..., ..., p_i met i =1, 2, 3, ..., oneindig.

Er zijn

\(\infty\)

natuurlijke getallen en

\(\lim_{i \to \infty}\)

p_i =

\(\infty\)

7 x 5 =35

10¹⁰⁰ x 10¹⁰⁰ = 10²⁰⁰

\(\lim_{i \to \infty}\)

p_i-1 x p_i =

\(\infty\)

\(\lim_{i \to \infty}\)

5 p_i =

\(\infty\)

Het product van p_i met p_i gaat naar

\(\infty\)

en het product van p_i met 5 gaat naar

\(\infty\)

oneindig. Dan kan er van alles bewezen worden.

Wanneer is het product van twee of meer natuurlijke getallen geen meer gedefinieerd?

[Safe]

Is ieder product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd.

Ja, en het is weer een natuurlijk getal.

[Bartjes]

Werken met limieten, rijen en reeksen vraagt de nodige zorgvuldigheid, anders krijg je tegenstrijdigheden.

[hendrik h]

Het vermenigvuldigen van grote getallen komt voor om vraagstukken op te lossen.

Het aantal natuurlijke getallen is {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ..., n met n = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,

\(\infty\)

De natuurlijke getallen zijn onder te verdelen. Er zijn even en oneven getallen. Veelvouden van 2, 3 enz.

De helft van de getallen in even en de helft van de getallen is oneven.

Als er N opeenvolgende getallen genomen worden dan zijn er 1/2N even en 1/2N oneven.

Nu gaat N naar

\(\infty\)

.

\(\lim_{N \to \infty}\)

1/2N =

\(\infty\)

.

Dan zijn evenveel even getallen als natuurlijke getallen. Dat lijkt mij niet goed. Waar wordt een wiskundige regels overtreden?

[Drieske]

Het is niet omdat je als limiet voor beiden oneindig bekomt, er van beiden evenveel zijn hè. In dit geval, hoe contradictief ook, klopt het echter wél: er zijn venveel natuurlijke als even positieve gehele getallen. Dit alles heeft te maken met de kardinaliteit van een verzameling. Maar afhankelijk van je niveau, is dit iets te hoog gegrepen vrees ik...

In het kort komt het hierop neer: twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie is tussen beide verzamelingen. Hier is er zo eentje. Kun je bedenken dewelke?

[Bartjes]

Bekijk eens hoe de precieze definitie van dergelijke oneigenlijke limieten luidt.

Dan zie je dat er in de gevonden uitkomsten geen logische tegenstrijdigheid zit.

Wel is het zo dat zulke uitkomsten botsen met de intuïtie. Daar valt wel een mouw aan te passen, maar dan heb je een getallensysteem nodig waarin oneindig grote "getallen" beschikbaar zijn. Binnen het gebruikelijke reële getallensysteem is dat niet zo.

Deze kwestie is al eens aan de orde geweest in dit topic:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php?showtopic=108730

[EvilBro]

Het aantal natuurlijke getallen is {n} = 1, 2, 3, 4, 5, ..., n met n = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,

\(\infty\)

\(\infty\)

is geen natuurlijk getal.

De helft van de getallen in even en de helft van de getallen is oneven.

De helft van een oneindige hoeveelheid is betekenisloos.

[hendrik h]

\(\infty\)

is geen natuurlijk getal.

De helft van een oneindige hoeveelheid is betekenisloos.

Ik ken de betekenis van het woord betekenisloos in de wiskunde niet. Is dit niet gedefinieerd of niet zinvol.

Het gaat nog steeds over de vraag of het product van twee natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is.

De aanleiding is de opmerking die ik las over het aftrekken met natuurlijke getallen:

"a - b = c is alleen zinvol als a > b". Er is geen negatief natuurlijk getal.

Bij gehele getallen is aftrekken altijd mogelijk omdat er zowel positieve als negatieve getallen zijn.

Neem een deelverzameling van de natuurlijke getallen met een grootte N en vanaf getal 1. Het aantal even getallen is 1/2N en het aantal oneven getallen is 1/2N.

Nu wordt N steeds groter gekozen. Zolang N een getal is gaat het goed. Maar neem ik de limiet, dus alle natuurlijke getallen dan is de bewerking "betekenisloos".

De natuurlijke getallen hebben een voorganger en een opvolger. Getal 1 heeft geen voorganger. Als men gaat tellen dan kan men hiermee uit de voeten. Ter afsluiting is

\(\infty\)

ingevoerd.

Vermenigvuldigen is herhaal optellen. Maar wordt er vermenigvuldigd met getallen van 10¹⁰⁰ of groter dan stap je met zevenmijls laarzen door de natuurlijke getallen. Het zou logisch zijn dit vermenigvuldigen af te sluiten als

\(\infty\)

"overschreden" wordt. Ik heb nog geen idee hoe ik dit wiskundig zou moeten schrijven.

[Safe]

Ter afsluiting is

\(\infty\)

ingevoerd.

Oneindig is via een limiet ingevoerd en is geen getal en betreft alle reële getallen.

Waarom wil je of moet je met oneindig werken?

Oneindig wil bij natuurlijke getallen eigenlijk alleen maar zeggen: er is geen grootste natuurlijk getal. Mooi!?!

[Bartjes]

Over oneindigheid in de wiskunde valt zeer veel te zeggen. Een populaire inleiding is:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Infinity_and_the_Mind

[EvilBro]

Het gaat nog steeds over de vraag of het product van twee natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is.

Als je denkt van niet, geef dan maar een tegenvoorbeeld van 2 natuurlijke getallen waarvan het product niet gedefinieerd is.

Neem een deelverzameling van de natuurlijke getallen met een grootte N en vanaf getal 1. Het aantal even getallen is 1/2N en het aantal oneven getallen is 1/2N.

Nu wordt N steeds groter gekozen. Zolang N een getal is gaat het goed. Maar neem ik de limiet, dus alle natuurlijke getallen dan is de bewerking "betekenisloos".

Bekijk de volgende som eens:

\(1-1+1-1+1-1+1-\cdots\)

Bekijk nu sommen met een even aantal termen. Dan is de som nu 0. Volgens jouw redenatie moet dan de waarde van de limiet (oneindig veel termen) ook 1 zijn. Bekijk nu sommen met een oneven aantal termen. Nu is de som 1.

Conclusie: jouw redenatie klopt niet. Je kan niet zomaar concepten die werken bij eindige situaties toepassen op oneindige situaties.

Stel dat je 'de helft van de natuurlijke getallen' definieert als een van twee verzamelingen die evenveel elementen bevatten en waarvan de samenvoeging (union) de verzameling is van de natuurlijke getallen. Je zou dan dus kunnen zeggen dat de even getallen de helft van de natuurlijke getallen is. Dit lijkt redelijk overeen te komen met je gevoel voor wat de helft is. Realiseer je echter dat de verzameling van alle priemgetallen ook de helft is van de natuurlijke getallen (aan elk priemgetal kan je immers een niet-priemgetal koppelen). Ik vermoed dat dit niet overeen komt met je gevoel voor de helft.

De natuurlijke getallen hebben een voorganger en een opvolger.

Dit is onjuist, zoals je zelf overigens al opmerkt. Elk natuurlijk getal heeft een opvolger. Niet elk natuurlijk getal heeft een voorganger.

Ter afsluiting is

\(\infty\)

ingevoerd.

Nee.

\(\infty\)

is geen natuurlijk getal. Er is geen grootste natuurlijk getal. Jij kan natuurlijk een andere oneindige verzameling verzinnen die lijkt op de natuurlijke getallen maar wel een grootste getal bezit. Dat is prima, maar noem het dan niet de natuurlijke getallen. Die term heeft immers al een algemeen geaccepteerde betekenis.

[hendrik h]

De deelverzamelingen die ik op het oog heb zijn:

De even natuurlijke getallen en de oneven natuurlijke getallen vanaf 1 t/m N

even getallen: {n_e} = 2, 4, 6, 8, 10, ..............N/2

oneven getallen: {n_o} = 1, 3, 5, 7, 9, .............N/2

In beide verzamelingen zitten 1/2N getallen. Deze N nadert toe

\(\infty\)

.

Zolang N een getal is, is 1/2N uit te rekenen.

Maar als N naar oneindig gaat dan krijgen we de limiet

\(|lim_{N \to \infty}\)

(1/2.N) = 1/2 .

\(\infty\)

en is het betekenisloos.

De helft van oneindig is "betekenisloos" volgens EvrilBro.

Het woord"betekenisloos" is mij in de wiskunde onbekend. Waar van het het idee maak ik gaarne gebruik.

Het voorbeeld waarbij het product van twee natuurlijke getallen niet "betekenisloos" zijn is

2 x (1/2.n_i +k), waarin n_i het grootste natuurlijke getal is en k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 1.

[hendrik h]

Als je denkt van niet, geef dan maar een tegenvoorbeeld van 2 natuurlijke getallen waarvan het product niet gedefinieerd is.

Nee.

\(\infty\)

is geen natuurlijk getal. Er is geen grootste natuurlijk getal. Jij kan natuurlijk een andere oneindige verzameling verzinnen die lijkt op de natuurlijke getallen maar wel een grootste getal bezit. Dat is prima, maar noem het dan niet de natuurlijke getallen. Die term heeft immers al een algemeen geaccepteerde betekenis.

De natuurlijke getallen is een verzameling die per axioma oneindig veel elementen bezit.

Er zijn even natuurlijke getallen en oneven natuurlijke getallen. Geen één even getal is een oneven getal. Er zijn ook priemgetallen. Priemgetallen zijn getallen die alleen door 1 en door zichzelf deelbaar zijn. De priemgetallen zijn dus een deelverzameling van de oneven getallen.

[TD]

De priemgetallen zijn dus een deelverzameling van de oneven getallen.

Nee hoor, 2 is even en priem.

[EvilBro]

Het voorbeeld waarbij het product van twee natuurlijke getallen niet "betekenisloos" zijn is

2 x (1/2.n_i +k), waarin n_i het grootste natuurlijke getal is en k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 1.

Er is geen grootste natuurlijk getal.