[microcursus] krachten: samenstellen en ontbinden

[TD]

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .


Bij deze cursus zijn ook een aantal oefenopgaven gemaakt, deze vind je onder de cursus.


Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

• Geef eventuele foutjes aan;
• Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
• Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
• ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven. We wensen je veel plezier en succes met cursus.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[microcursus] KRACHTEN SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN (vectoren)

Auteur: Jan van de Velde


1: Afspraken: we kunnen niet zonder


1.1 Grootheden en eenheden

Voor de grootheid “kracht” wordt het symbool “F” (van het Engelse Force) gebruikt.
De eenheid van kracht is de newton (voluit in kleine letters) met als SI-symbool “N” (vernoemd naar Sir Isaac Newton).
Verder is het soms handig als je weet wat cosinus, sinus en tangens van een hoek zijn, en hoe je die uitrekent. (maar ook zonder kom je een heel eind).


1.2 Krachten hebben een grootte en richting

Een kracht is een invloed op een voorwerp, die aan dat voorwerp o.a. een versnelling kan geven. Dat wil zeggen dat de snelheid van het voorwerp verandert (bedenk dat een vertraging - afremmen - dus een negatieve versnelling is).
Een grotere kracht heeft een grotere versnelling tot gevolg.
............... (Afb.1)..............een kracht heeft een GROOTTE..............

Als een kracht links aan een voorwerp trekt, dan zal het voorwerp naar links gaan bewegen.
...................een kracht heeft een RICHTING(Afb.2)

Voor onze Vlaamse lezers:

jullie wis- en natuurkunde gaat hier nét iets anders mee om: Jullie onderscheiden behalve een "richting" (de ligging van een lijn in de ruimte) ook nog een "zin" (naar de ene kant of de andere kant op die lijn).

(Afb.2a)


Met het Nederlandse "richting" bedoelen we in de rest van deze cursus jullie Vlaamse combinatie van "richting en zin".


1.3 Krachten tekenen

Je wilt voorspellen hoe snel een voorwerp gaat bewegen, en welke kant op, als er een kracht op werkt.
Van een kracht moet je dus zowel grootte als richting kennen.
Een pijl heeft die twee eigenschappen óók:

• een grootte (lengte);
• en natuurlijk kun je een pijl een richting op laten wijzen.

We kunnen pijlen dus gebruiken om krachten weer te geven.
Een moeilijk woord voor zo'n pijl is een VECTOR.

Vergelijk de lengtes in het plaatje:
...................... (Afb.3)
De rode vector stelt een kracht van 80 N voor, en is tweemaal zo lang getekend als de blauwe van 40 N.

We zeggen dan ook wel dat kracht een VECTORGROOTHEID is.
En om aan te geven dat het om een vectorgrootheid gaat, zetten we dan vaak nog een pijltje boven de F: 
 


1.4 Aangrijpingspunt van een kracht

Een kracht zal tegen een voorwerp duwen of eraan trekken. 
Het punt waar de kracht werkelijk op werkt noemen we het AANGRIJPINGSPUNT.

... ........ (Afb.4)
Op dat aangrijpingspunt tekenen we de voet van de vector. Hierboven is dat het oppervlak van de belknop.
Zoals je ziet geven we vaak nog met kleine letters onder de F aan wat de oorzaak van de kracht is, bijvoorbeeld:
F_vinger, F_elastiek of met afkortingen: zwaartekracht F_z, normaalkracht F_n, wrijvingskracht F_w, etc.

 

[Jan van de Velde]

2: Krachten die in één lijn op een voorwerp werken

2.1 Resulterende kracht

Het komt niet vaak voor dat er op een voorwerp maar één kracht werkt. Meestal zijn het er meer.
Toch kan een voorwerp, zonder uit elkaar te vallen, maar in één richting gaan bewegen.
Hieronder werken twee krachten die even groot zijn, maar tegengesteld van richting:
(Afb.5)
Je snapt dat wanneer twee locomotiefjes:
.......... elk met een kracht van 20 N, (dus precies even hard)
...........maar in tegengestelde (!) richtingen
aan een wagon trekken, dat de wagon geen kant op gaat.

Schematisch tekenen we dat zó:
(Afb.6)

De wagon komt niet in beweging, hij krijgt dus geen versnelling.
Dat betekent dat het resultaat van F en F samen op de wagon nul is.
Het resultaat van alle krachten die samen op een voorwerp werken noemen we de RESULTANTEKRACHT of ook wel de NETTOKRACHT.
De resultantekracht F_resvan het locomotievengevecht is dus 0 N.

Hoe stel je je zoiets voor? Denk dan eens even de blauwe locomotief weg en laat bijvoorbeeld één seconde lang alleen de rode locomotief werken. Laten we zeggen dat de wagon daardoor 6 cm naar rechts gaat. Dan koppelen we de rode af en laten de blauwe locomotief ook precies één seconde trekken. Omdat de kracht even groot is, zal die hetzelfde effect hebben. De wagon rijdt in die ene seconde dan ook weer 6 cm de andere kant op.

(Afb.7)

Het resultaat is dat de wagon weer precies op zijn oude plaats staat. Het is net of hij niet bewogen heeft.

Dit noemen we ook wel de ÉÉN-VOOR-ÉÉNMETHODE.

LET OP: Dit mag je alléén doen met krachten die HETZELFDE AANGRIJPINGSPUNT hebben.


2.2 Grafisch oplossen: één-voor-éénmethode

Het locomotievengevecht:
We verschuiven één vector zó dat hij met zijn voet terecht komt op de punt van de ander:

(Afb.8 )

Deze methode kun je ook toepassen als de krachten elkaar "meehelpen":

Stappenplan

Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal: (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 10 N)

(Afb.9)


Stap 2: Verschuif weer één vector zodat hij met zijn voet op de punt van de andere terechtkomt:

(Afb.10)


Stap 3: Teken nu je resultantekracht vanaf de voet van de rode tot de punt van de blauwe vector.
Die is 5 cm lang, en dat komt op deze schaal dus overeen met 50 N:

(Afb.11)

Hierboven heb je gezien hoe je het oplost als twee krachten op één lijn werken.
Dat kan natuurlijk ook met méér dan twee krachten:

Stappenplan:
We denken ons weer in dat de krachten één voor één even mogen werken:

Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal: (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 10 N)

(Afb.12)


Stap 2: Verschuif weer één vector (hier de blauwe) zodat hij met zijn voet op de punt van een andere (hier de rode) terechtkomt, en verschuif dan de derde (lila) zodat hij met zijn voet op de tweede (blauwe) terechtkomt:

(Afb.13)


Stap 3: Teken nu je resultantekracht vanaf de voet van de eerste (rode) tot de punt van de laatste (lila) vector:

(Afb.14)

Probeer dit ook maar eens door eerst de blauwe aan de lila te plakken, en daarna de rode aan de blauwe:
De volgorde maakt helemaal niets uit.


2.3 Berekenen

Weer het locomotievengevecht:
Zet de vectoren maar eens in een diagram (assenstelsel), met hun aangrijpingspunten in de oorsprong:

(Afb.15)

Je ziet dat de blauwe kracht negatief is ten opzichte van de rode. Als je die twee krachten dan bij elkaar optelt schrijf je dus:
F_res= (+20 N) + ( -20 N )= 0 N

Krachten die op één lijn werken kun je dus bij elkaar optellen.

Dit kan natuurlijk ook met krachten die in dezelfde richting werken.
Zet ze weer in een assenstelsel, allebei weer met het aangrijpingspunt in de oorsprong:

(Afb.16)

F_res= (+20 N) + ( +30 N )= 50 N

Ook voor de drie krachten kan dat:

(Afb.17)

Teken ze weer netjes in een assenstelsel en dan zie je:
F_res= (+15 N) + ( +25 N ) + ( - 20 N) = 20 N

LET OP: Valt je op dat we de krachten dus steeds OPTELLEN, maar een kracht die een andere richting heeft een ander teken (-) geven?
Zo raak je minder gauw in de war. Ook wiskundig is dat logischer.

[Jan van de Velde]

3: Meerdere krachten die in één vlak op een voorwerp werken

(Afb.18 )

De rode tractor trekt schuin naar links aan de paal, de blauwe trekt schuin naar rechts. Je ziet het al aankomen, als de paal gaat vallen zal dat recht vooruit zijn, tussen de twee tractoren in.


3.1 Grafisch oplossen; één-voor-éénmethode:

Denk je weer in dat de twee krachten één voor één even mogen werken:
Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal: (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 2000 N)

(Afb.19)


Stap 2: Verschuif weer één vector zodat hij met zijn voet op de punt van de andere terechtkomt:

(Afb.20)


Stap 3: Teken nu je resultantekracht vanaf de voet van de blauwe tot de punt van de rode vector:

(Afb.21)

Stap 4: Meet nu je resultantevector:
Die is 4 cm lang, en dat komt op deze schaal dus overeen met 8000 N.

Vreemd?
Twee krachten van 5000 N elk, die samen een resultantekracht leveren van 8000 N in plaats van 10000 N?
Nou, nee hoor, heel logisch eigenlijk. De tractoren trekken ook een beetje opzij, en zijn dus eigenlijk ook een beetje een locomotievengevecht aan het voeren. Daar gaat een deel van hun kracht naar toe.
Teken nog maar eens zo’n schema, maar nu met twee tractoren die nog verder uit elkaar trekken (de blauwe en rode vectoren komen vlakker te staan in je schema).
De resultantekracht recht vooruit wordt kleiner.
En nog vlakker, en nog vlakker, net zo lang tot beide krachten net als de locomotieven lijnrecht tegen elkaar inwerken.

(Afb.21a)
Dan heb je twee krachten van 5000 N elk, en een resultante van 0 N!


3.2 Grafisch oplossen: parallellogrammethode:

Je weet nu hoe je aan die resultantevector komt. Er is nog een andere methode met hetzelfde resultaat: de parallellogrammethode.
Als de krachten in één lijn werken maakt het niet uit welke kracht je éérst laat werken in de één-voor-éénmethode.
Ook hier geldt dat:

(Afb.22)

Het komt er eigenlijk op neer dat je elke vector parallel aan zichzelf verschuift:

(Afb.23)

In het eerste plaatje zie je een vierhoek ontstaan, waarvan de tegenoverstaande zijden parallel aan elkaar lopen.
Zo'n bijzondere vierhoek heet een parallellogram.
In het tweede plaatje zie je dat de resultantevector precies in het snijpunt van die parallelle lijnen uitkomt.

Grafisch werkt de parallellogrammethode ietsje nauwkeuriger, omdat je geen lengtes meer hoeft te meten.
Bij het ontbinden van vectoren kun je niet zonder dit trucje.


3.3 Grafisch oplossen; één-voor-éénmethode voor meer dan 2 krachten:

Voor meerdere krachten werkt het net hetzelfde.
Denk je weer in dat je ze één voor één zou laten werken:

(1) teken het schema ................................ (netjes op schaal)..........
(2) verschuif één vector (bijv. blauw)......... met zijn voet naar de punt van rood .........
(3) dan lila................................................. met zijn voet naar de punt van blauw .....
(4) teken de resultante............................... van de voet van rood naar de punt van lila ......

.................1..........................2.................................3.................................4............

(Afb.24)

De lengte van de resultantevector kun je nu netjes opmeten, en via de schaal die je gebruikt hebt omrekenen naar de grootte van de kracht.

In deze mooie applet van Fendt en Koops kun je zien hoe je meerdere krachten samenstelt met die één-voor-éénmethode.
Speel er eens mee, heel leerzaam!!


3.4 Grafisch oplossen; parallellogrammethode voor meer dan 2 krachten:

Dit gaan we hier niet helemaal uittekenen. Je neemt eerst twee krachten, en bepaalt hiervan de (voorlopige) resultante met de parallellogrammethode. Dan teken je wéér een parallellogram, maar nu met de voorlopige resultante en de derde kracht. Daaruit komt dan je uiteindelijke resultante.


3.5 Berékenen voor krachten onder een rechte hoek: Pythagoras:

Met die grafische oplossing moeten we al héél netjes tekenen om de uitkomst precies te krijgen. Een tikje afwijken in een grootte of een richting geeft onmiddellijk een afwijking in je uitkomst. Dat wil niet zeggen dat die grafische oplossing waardeloos is; soms is het genoeg als je het ongeveer weet, en het kan ook een handige methode zijn om de uitkomst van een berekening te controleren.

We gaan eerst eens kijken naar het eenvoudige geval van twee krachten die werken in richtingen loodrecht op elkaar, onder een hoek van 90° dus (een rechte hoek):

(Afb.25)

We hebben de blauwe vector alvast verschoven en de resultante getekend.
Dit geeft een rechthoekige driehoek, met de rechthoekszijden r_a van 40 mm en r_b van 30 mm , en de schuine zijde sc.
Volgens de wet van Pythagoras geldt nu :
r_a² + r_b² = s_c²

Als je dat invult krijg je:
40² + 30² = s_c²

1600 + 900 = s_c²

2500 = s_c²

s_c= √ 2500 = 50 mm

De driehoek was getekend op een schaal 1 mm = 1 N, dus F_res= 50 N (meet maar na).

(In de bovenstaande voorbeelden komen we steeds op mooie ronde getallen uit. Dat is alleen omdat de groottes en richtingen van de vectoren precies zó gekozen zijn dat je desnoods uit het hoofd zou kunnen meerekenen.)


3.6 Berékenen voor krachten onder een andere hoeken: goniometrie:

Vanaf hier zul je moeten weten wat de sinus, cosinus en tangens van een hoek zijn. 
Loop je daarin vast, kijk dan eerst maar eens in de microcursus sinus-cosinus-tangens

We gaan weer eens even naar onze tractoren kijken: twee krachten die gelijk zijn van grootte en die onder gelijke hoeken aan de paal trekken. 
Samen gaven die twee een kracht recht vooruit met een grootte van 8000 N. Ze waren elk even groot, en weken evenveel af van de uiteindelijke richting van de resultante. Het is dan ook logisch om te zeggen dat ze elk 4000 N in de goede richting meehielpen (in dit plaatje kun je dat met behulp van Pythagoras zelf narekenen).

Vaak zul je echter een hoek gegeven krijgen tussen de vectoren en de resultante:
 (Afb.26)

We geven de hoek α ≈ 36,9°. Dan kijken we naar de driehoek die gevormd wordt door de krachtvector, deresultante en de lijn van de punt van de krachtvector die loodrecht op de resultante uitkomt.

Stap 1: geef de zijden van de rechthoekige driehoek een naam gezien vanuit de bekende hoek:
 (Afb.27)


Stap 2: zet op een rijtje wat je weet en wat gevraagd wordt:
hoek α ≈ 36,9°
schuine zijde = 5000 N
aanliggende rechthoekszijde = ?? N (gevraagd)

Stap 3: zoek de goniometrische formule die je nodig hebt.
Aan tangens of sinus heb je niets, want daarvoor heb je de overstaande rechthoekszijde van hoek α (ook) nodig.
De cosinus van een hoek kun je berekenen door de aanliggende rechthoekszijde te delen door de schuine zijde:

 

Stap 4: vul in en reken uit:

 

 

 


Op dezelfde manier kun je de rode vector bewerken. Je krijgt dan twee vectoren met een grootte van elk 4000 N die op één lijn in dezelfde richting werken, en die mag je dus gewoon optellen: 4000 N + 4000 N = 8000 N:
 (Afb.28 )

[Jan van de Velde]

4: Ontbinden van een kracht


Hierboven kenden we twee krachten, en stelden die samen tot één resultantekracht. Andersom kan ook.

Dan kennen we één kracht, en willen die splitsen in twee krachten.


We kijken weer naar de tractoren: we weten in dit geval dat we een kracht van 8000 N nodig hebben om de paal omver te trekken
(Afb.29)


De vraag wordt nu, hoe hard moet elk van de tractoren trekken zodat ze samen die paal omver krijgen?

Dat kunnen we oplossen als we óf de richtingen, óf de groottes van die krachten kennen.


4.1 Grafisch oplossen met bekende richtingen:


Kijk we even terug naar de parallellogrammethode: Dat gaan we eens even andersom doen.

Stap 1: teken de richting waarin de tractoren trekken:[/size]


(Afb.30)


Nu moeten we nog de grootte van de kracht van elke tractor bepalen.


Bij het samenstellen van krachten zag je de parallellogrammethode.

Je weet dus dat het snijpunt van die parallelle lijnen op de punt van onze resultantevector kwam te liggen:

Stap 2: teken de parallellen door de punt van de resultante:


(Afb.31)


Stap 3: teken je vectoren naar de hoeken van het parallellogram:


(Afb.32)

Stap 4: opmeten en omrekenen via schaal:

Als je netjes meet vind je 2,5 cm. Op de schaal 1 cm = 2000 N betekent dat 5000 N.


Nu lijkt dat natuurlijk leuk met die gelijke hoeken, maar het werkt ook prima met ongelijke hoeken:


Kijk maar: .............(Afb.33)


Dat betekent natuurlijk wel dat de rode tractor veel harder moet werken.


4.2 Berekenen met bekende richtingen:


Het is altijd slim tóch even een schetsje te maken:


Stap 1: teken de richting waarin de tractoren trekken:


(Afb.34)


We hebben dus een kracht A die trekt onder hoek α, en een kracht B die trekt onder hoek α. Hoek α = 36,9°.

De twee vectoren die samen F_res gaan vormen zullen dezelfde richting hebben als F_res.

Stap 2: Voor je overzicht: schets die twee vectoren, en de rechthoekige driehoeken waarvan ze een onderdeel zijn:


(Afb.35)


Omdat de hoeken waaronder de tractoren trekken gelijk zijn, weten we ook dat de grootte van hun krachten gelijk moet zijn (hoef je niet te onthouden, dat zie je als je het parallellogram tekent).

Dus geldt er: 2·A = 8000 N ==&--#62; A = 4000 N.

Je kent de aanliggende rechthoekszijde A van hoek α, je kent hoek α, en de schuine zijde C wordt gevraagd:

Stap 3: Zoek de goniometrische formule waarin de aanliggende rechthoekszijde, de schuine zijde en de hoek α voorkomen:


cos(α) = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde

Stap 4: vul in en reken uit:


cos(α) = A/C = 4000 N / C


Dus: C= 4000 N / cos(36,9°) ≈ 5000 N.


4.3 Grafisch oplossen met bekende groottes:


Gegeven wordt nu hoe hard elke tractor trekt, en welke kracht nodig is om de paal omver te krijgen.

De vraag is nu: Onder welke hoek moet elke tractor trekken om de paal de goede kant op te laten vallen?

We gebruiken nu eens ongelijke krachten, 200 N en 300 N, en de resultante moet 400 N groot zijn.

Stap 1: teken op schaal de resultantevector F_res:

Hier doen we dat even naar rechts, om het plaatje niet te groot te laten worden. In het plaatje zijn alle stappen samengevat.

Stap 2: eerste kracht afpassen:

De blauwe vector heeft een onbekende richting. Als je alle punten bedenkt waar die vector zou kunnen uitkomen, vormen die punten een cirkel rond de voet van F_res.

De straal van die cirkel is gelijk aan de grootte van de kracht van de blauwe tractor.

Stap 3: tweede kracht afpassen:

Doe hetzelfde voor de kracht van de rode tractor, maar nu vanuit de punt van F_res

Stap 4: teken je vectoren door de snijpunten van de cirkels te verbinden met voet en punt van F_res

Stap 5: meet je hoeken:


(Afb.36)


4.4 Berekenen met bekende groottes:

De drie krachten kun je tekenen in een driehoek zoals hier:
(Afb.37)

Hieruit kan je met behulp van de cosinusregel de hoeken α en ß berekenen, omdat alledrie de zijden van de driehoek bekend zijn.
Voor verdere uitleg over de cosinusregel moet je in een aparte cursus zijn......
Voor het driehoekje hierboven is de standaardcosinusregel even voor je omgewerkt:





De functie arccos (boogcosinus) vind je op je rekenmachine misschien met de aanduiding cos^-1

[Jan van de Velde]

In het huiswerkforum vind je een topic voor je vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven.

Zit je met een opgave over krachten waar je niet aan uit geraakt? Open dan een topic in het huiswerkforum.


Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen


Oefenopgaven


Inleiding oefenopgaven


Je kunt deze oefenopgaven allemaal óf grafisch óf met een berekening oplossen.

Maak in alle gevallen een schets. Voor een grafische oplossing zal die zo netjes mogelijk moeten zijn, voor een berekening is een ruwe schets meestal wel voldoende. Voor grafische oplossingen: maak je schetsen groter dan wij hier doen, anders meet je al snel onnauwkeurig.


Het (kale) eindantwoord en de uitwerking vind je steeds door te klikken op de respectievelijke

Verborgen inhoud

uitwerking.....

Grafisch zul je nooit zó nauwkeurig zijn. Wijkt je antwoord niet meer dan 5% af van het berekende antwoord, dan heb je netjes gewerkt.

Let in de berekende antwoorden niet op de significantie van de cijfers. Gezien de bedoeling van de oefeningen geven we het antwoord steeds afgerond op hele newtons of graden.


1 Luchtweerstand


De motor van een auto levert een kracht van 1000 N vooruit. Bij een snelheid van 30 m/s is de luchtweerstand 800 N, en de rolwrijving van de wielen samen 100 N.


a) Hoe groot is de nettokracht op de auto?


antwoord:

Verborgen inhoud

100 N vóóruit

uitwerking:

Verborgen inhoud

Grafisch:

Goeie richtingen geven, en op juiste schaal tekenen. Dan nog eens, maar met de één voor één methode, steeds een opschuiven en met de voet op de punt van de vorige plakken. In dit geval zul je misschien die moeite niet eens doen omdat je het zo wel ziet, toch?
(Afb.38)


Berekenen:

Let op de tekens van je getallen: de ene kant op plus, de andere kant op consequent min.

F_res = +1000 N + (-800 N) + (-100 N) = +100 N

b) Extraatje, buiten het doel van deze cursus, maar toch leuk: Stel de rolwrijving was niet 100 maar 200 N geweest. De nettokracht op de auto wordt dus 0 N (reken maar na). Welke bewering is dan juist?

<ul class="bbcol">[*]De auto zal even later sneller rijden.
[*]De auto zal zo snel blijven rijden.
[*]De auto zal vertragen.
[*]Dan klopt deze opgave niet. Als de nettokracht 0 N is kan het niet anders of de auto staat stil.
[/list]
antwoord:

Verborgen inhoud

B

uitwerking:

Verborgen inhoud

De nettokracht is nu 0 N. Dat betekent dat er niets verandert aan de beweging van de auto. Als hij stilstond blijft hij stilstaan, als hij rijdt blijft hij even snel rijden. Als je antwoord D gaf moet je nodig terug naar je docent om extra uitleg over het effect van krachten, want dan heb je iets niet goed begrepen.

2 De trekschuit


Een trekschuit wordt door twee paarden voortgetrokken over een rivier. Vlak voor een bocht trekken de paarden met krachten in richtingen zoals in de afbeelding. De hoek tussen het blauwe touw en de vaarrichting van de schuit is 19°. De hoek tussen de touwen van de paarden is 90°.

Bepaal de grootte van de resulterende kracht van de twee paarden op de trekschuit.

(Afb.39)

antwoord:

Verborgen inhoud

901 N

uitwerking:

Verborgen inhoud

Grafisch:

de krachten zijn al voor je getekend. Teken ze anders netjes zonder schuit e.d. haaks op elkaar op een ruitjespapier. Schaal is hier 1 cm = 200 N. Teken een parallellogram met de bekende krachten aan twee zijden. De resulterende kracht heeft nu zijn voet op de schuit, en zijn punt in de tegenoverliggende hoek van het parallellogram. Opmeten levert 4,5 cm ofwel op deze schaal 900 N.

Trek je dus niks aan van de vaarrichting van de schuit. Er wordt niet gevraagd om de nettokracht in de vaarrichting!!
(Afb.40)


Berekenen:

Gegegeven is de hoek tussen de twee krachten van 90°. Het parallellogram is dus een rechthoek. In dat geval kun je moeiteloos Pythagoras toepassen.
F_res²= 500² +750²
F_res = √(500² +750²) = 901 N

3 Jaap trekt een kar


Jaap trekt met een touw aan een karretje met zand. Via het touw oefent hij een kracht uit van 400 N. Het touw hangt over zijn schouder en maakt een hoek van 50° met de rijrichting van het karretje. Hoe groot is de resulterende kracht in horizontale richting (F_hor) van Jaap in de rijrichting van het karretje?
(Afb.41)

antwoord:

Verborgen inhoud

257 N

uitwerking:

Verborgen inhoud

Grafisch:

de kracht is 400 N, teken die over het touw, met de voet van de pijl op het punt waar het touw aan de kar vastzit. Een handige schaal is 1 cm = 100 N. Teken dan een stippellijn in de rijrichting van het karretje, en een loodlijn vanaf de punt van je pijl naar die rijrichtingslijn. Je kunt nu de resulterende F_hor tekenen en opmeten. F_hor ≈ 2,5 cm ofwel 250 N.
(Afb.42)


Berekenen:

In de rechthoekige driehoek in je schets ken je de hoek van 50°, de lengte van de schuine zijde (400 N) en de aanliggende rechthoekszijde Fhor wordt gevraagd. Het is hier dus handig de cosinus van 50° te gebruiken (cos = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde)


cos(50°) = F_hor/400 N

F_hor = cos(50°) x 400 N = 0,6428 x 400 N = 257 N

4 De torenklok


Het dak van een kerktoren wordt gesteund door twee spanten, die een hoek van 30° met elkaar maken. Aan de nok wordt met een ketting een grote klok opgehangen, met een gewicht van 10 000 N. Hoe groot is de kracht die dat in de langsrichting van elk dakspant veroorzaakt?


antwoord:

Verborgen inhoud

5 176 N

uitwerking:

Verborgen inhoud

Grafisch:

Twee bruine dakspanten met daartussen een hoek van 30°. Verticaal vanuit de nok hangt een klok, de zwartekracht op de klok is 10 000 N. Ontbind deze kracht mbv de parallellogrammethode in twee krachten in de richtingen van de spanten (want dat is de enige weg om die krachten weg te leiden naar de muren en zo verder naar de grond). Netjes opmeten levert ongeveer 5200 N per spant.
(Afb.43)


Berekenen:

In je schets zie je rechthoekige driehoeken, met een tophoek van 15°, en een aanliggende rechthoekszijde van 5000 N. De schuine zijde is waarnaar je op zoek bent.


cos(15°) = 5000 N / schuine zijde

F_spant = 5000 N / cos(15°) = 5000/0,9659 N = 5 167 N

5 De vrachtwagenmotor in de garage


Het dak van een garage wordt gesteund door twee spanten, die een hoek van 160° met elkaar maken. Aan de nok wordt met een takel een vrachtwagenmotorblok met een gewicht van 10 000 N uit het chassis getakeld. Hoe groot is de kracht die dat in de langsrichting van elk dakspant veroorzaakt?


antwoord:

Verborgen inhoud

28 794 N

uitwerking:

Verborgen inhoud

Eigenlijk gelijk aan de kerktoren van vraag 4, maar toch een spannend verschil:
Grafisch:
Als je dit doet met dezelfde schaal als de kerktoren, dan kom je er straks achter dat je papier niet breed genoeg is. Wij gebruiken hier de schaal 1 cm = 5000 N. Twee bruine dakspanten met daartussen een hoek van 160°. Verticaal vanuit de nok hangt het motorblok, de zwaartekracht op de motorblok is 10 000 N. Ontbind deze kracht mbv de parallellogrammethode in twee krachten in de richtingen van de spanten (want dat is de enige weg om die krachten weg te leiden naar de muren en zo verder naar de grond). Netjes opmeten levert ongeveer 29 000 N per spant. Toch is het motorblok maar even zwaar als de kerkklok!
(Afb.44)

Berekenen:

In je schets zie je rechthoekige driehoeken, met een tophoek van 80°, en een aanliggende rechthoekszijde van 5000 N. De schuine zijde is waarnaar je op zoek bent.


cos(80°) = 5000 N / schuine zijde

F_spant = 5000 N / cos(80°) = 5000/0,1736 N =28 794 N

Dat is véél meer dan de krachten in de spanten bij de kerktoren, precies omdat het dak véél vlakker is. Als je vlakke daken construeert is dat een factor om heel goed rekening mee te houden.


6 Drie honden vechten om een been


Eén grote en twee wat kleinere honden hebben samen één bot vast, en trekken eraan met onderlinge hoeken van 120°. De grote hond trekt met een kracht van 60 N, de beide andere elk met een kracht van 40 N. Met welke nettokracht wordt het bot welke kant op getrokken?


antwoord:

Verborgen inhoud

netto 20 N in de richting van de grote hond.

uitwerking:

Verborgen inhoud

Grafisch:

Eerst de drie krachten tekenen met een gezamenlijk aangrijpingspunt (het bot). De twee kleine krachten zijn makkelijk met de parallellogrammethode samen te stellen tot één gezamenlijke, die óók 40 N blijkt te zijn. Die werkt precies tegengesteld aan de 60 N van de grote hond. Als je dán die twee krachten samenstelt blijft er een nettokracht van 20 N in de richting van de grote hond over.

(Afb.45)

Berekenen:

In je schets zie je rechthoekige driehoeken, met een tophoek van 60°, en een schuine zijde van 40 N. De aanliggende rechthoekszijde is waarnaar je op zoek bent, voor élk hondje.


cos(60°) = aanliggende rechthoekszijde / 40 N

F_res = 40 N x cos(60°) = 40 N x 0,5 =20 N

Dat geeft je de kracht van één hondje in de samengestelde richting. De resultante van de twee hondjes samen in hun gezamenlijke richting tegen de grote hond in is dus 40 N. De rest verspillen ze aan onderling "getouwtrek" in horizontale richting. De uiteindelijke resultante van álle krachten wordt dan +60 N +(-40 N)= +20 N