\(2 \pi r = n \sqrt{b^2 + c^2 -2bc \cos{\alpha}}\)
Hierbij moet gelden dat \(\alpha = \frac{360}{n}\)
aangezien de veelhoek regelmatig is en een circel 360 graden heeft.Ook geldt dat
\(a = b = r\)
omdat de veelhoek ingeschreven is (en dus in de hoekpunten aan de cirkel raakt) en bovendien regelmatig is, waardoor de driehoeken die ontstaan bij het verbinden van twee aangrenzende hoekpunten met het middelpunt van de cirkel gelijkbenig moeten zijn. Dit geeft ons het volgende:\(2 \pi r = n \sqrt{r^2 + r^2 - 2 r r \cos{\frac{360}{n}}}\)
\(2 \pi r = n \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos{\frac{360}{n}}}\)
pi vrijmaken\(\pi = \frac{n \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos{\frac{360}{n}}}}{2r}\)
noemer en teller rechts kwadrateren (niet links en rechts kwadrateren, alleen de teller en noemer rechts)\(\pi = \frac{n^2 (2r^2 - 2r^2 \cos{\frac{360}{n}})}{4r^2}\)
boven \(2r^2\)
buiten de haakjes halen en uitdelen\(\pi = \frac{2n^2 r^2 (1 - \cos{\frac{360}{n}})}{4r^2}\)
\(\pi = \frac{1}{2}n^2 (1 - \cos{\frac{360}{n}})\)
Waarmee ook gelijk bewezen is dat de straal van de cirkel en pi onafhankelijk van elkaar zijn. Het probleem is echter dat deze formule (op mijn grafische rekenmachine) naar een veel te grote waarde nadert. Ik ben er tenminste vrij zeker van dat pi niet ongeveer tweeëndertigduizendnogwat is.Mijn vraag is nu: wat heb ik verkeerd gedaan in het afleiden van de formule?
EDIT: Na het plotten van mijn formule zie ik dat de formule niet gewoon naar een te grote waarde nadert, maar zich daarvoor eerst erg chaotisch gedraagt. Zo geeft hij bij n=57 een waarde van 0.8633709901... terwijl hij daarvoor en daarna waarden van tussen de honderd en de duizend geeft. Nu ben ik echt verward.
