Bewijs aardrotatie met valproef

[Michel Uphoff]

Nou, dat is dan duidelijk, dankjewel! Maar is het daarmee nu ook bewezen dat deze houtje-touwtje excel oplossing correct is, vermits ik de gevonden uitkomst domweg verdubbel? En zo ja, dan zie ik het waarom van die verdubbeling nog steeds niet voor ogen. Wiskundig kan het prima kloppen, maar valt het ook inzichtelijk te maken?

Heb net even gekeken of weglaten van de middeling van de snelheid (snelheid eind vorig blokje 1/10 seconde + snelheid eind huidig blokje 1/10 seconde / 2) nog iets wezenlijks uit zou maken. Maar dat is niet het geval. Het resultaat wijkt dan iets meer af dan 1/3 van die oorspronkelijk aanname van 33 mm. Maw middelen komt nauwkeuriger op 1/3 uit.

Hooke, following a 1679 suggestion from Newton, tried unsuccessfully to verify the predicted half millimeter eastward deviation of a body dropped from a height of 8.2 meters

Ik kom bij 8,2 meter op de evenaar op 0,262 mm, en dat is weer dicht bij de helft. Overigens wordt er niet bij verteld waar Hooke die test uitvoerde.

[jkien]

is het daarmee nu ook bewezen dat deze houtje-touwtje excel oplossing correct is, vermits ik de gevonden uitkomst domweg verdubbel? En zo ja, dan zie ik het waarom van die verdubbeling nog steeds niet voor ogen. Wiskundig kan het prima kloppen, maar valt het ook inzichtelijk te maken?

Ik krijg nu de indruk dat je intuitief onderstaande vergelijking (1) aannemelijker vindt dan (2). Maar het is het soort vraagstuk waarbij twee autos elkaar inhalen. Daarom (1) is fout, (2) is goed.

(1)

\( \Delta (x_1 - x_2) = \frac{v_1-v_2}{2} \Delta t \)

(2)

\( \Delta (x_1 - x_2) = (v_1-v_2) \Delta t \)

Hooke, following a 1679 suggestion from Newton, tried unsuccessfully to verify the predicted half millimeter eastward deviation of a body dropped from a height of 8.2 meters

Ik kom bij 8,2 meter op de evenaar op 0,262 mm, en dat is weer dicht bij de helft. Overigens wordt er niet bij verteld waar Hooke die test uitvoerde.

Die halve mm heeft iemand er later bij verzonnen. Newton voorspelde dat de afwijking naar het oosten is, maar hij zei niet hoeveel, behalve dat het vermoedelijk net meetbaar is bij een val van 20 meter. p.323 (Kennelijk had hij wel een formule, maar wilde hij die niet meteen bekend maken).

Degene die de halve mm heeft verzonnen zal het wel uitgerekend hebben voor een toren op de evenaar, dan is volgens mij Δx = 2/3 ΩHT = 0.5 mm (H=8.2, T=1.26, Ω=2π/86400, 1). Voor een Engelse toren op 51° noorderbreedte zou het Δx = 2/3 ΩHT cos(51°) = 0.3 mm zijn. (Hooke vond een veel grotere afwijking, achteraf vermoedelijk een foute uitvoering van het experiment)

Omdat je onlangs uitleg gaf over de Atwoodmachine is het wel aardig dat ze in 1911 in het Vaticaan voor deze proef een 23 m hoge koepel (de Nicchione della Pigna) hebben omgebouwd tot een hoge Atwoodmachine. De machine vertraagde de val tot 10 s. (Hagen)

[Bartjes]

De straal R van de aarde voor de evenaar heb ik aan Wikipedia ontleend:

http://en.wikipedia.org/wiki/Earth

Daar vinden R = 6.378,1 km. Op grote hoogte neemt g (de versnelling van de zwaartekracht) merkbaar af en mogen we als benadering ook geen kogelbaanformules meer gebruiken (dan heb je Kepler-banen nodig). We zullen ons daarom beperken tot torens met een hoogte

\( \mbox{h}_{toren} \)

tussen de 0 en 100 meter. In dat geval ligt:

\( \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \)

tussen 0 en 1,57 . 10^-5 . Voor dat interval moeten we nu de grafieken vergelijken van:

\( y = \frac{2}{3} \, x^{1 \frac{1}{2} } \)

(uit de formule van jkien)

en

\( y = \mbox{val}(x) \)

(uit de formule van Bartjes) .

(Let op: x is hier gewoon een onafhankelijke variabele.)

Laat ik eerst de formule voor de valfunctie eens volledig uitschrijven.

(...)

\( \mbox{val}(x) = \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + x } \,\, . \, \left \{ 2 \, \sqrt{ x \, . \, (1 + x) } - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \right ) \, \right \} \,\,\, - \,\,\,\, \sqrt{x} \)

(formule 17) .

Om de grafieken van deze functies te vergelijken voeren we onderstaande uitdrukkingen in het programma Graph in:

250 * (2/3) * x^(3/2)

250 * ((1/4) * sqrt(1+x) * ( 2*sqrt(x*(1+x)) - ln(1- sqrt(x/(1+x))) + ln(1 + sqrt(x/(1+x))) ) - sqrt(x) )

(De factor 250 is toegevoegd om een fraaier plaatje te krijgen.)

[Bartjes]

graph 968 keer bekeken

We zien dat de grafieken vrijwel samenvallen. Aan de juistheid van de factor 2/3 in de formule van jkien (als uitstekende benadering) bestaat wat mij betreft geen twijfel meer.

Wat er met Michel Uphoffs aanpak mis is, daar moet ik nog even over nadenken. Het moet iets fundamenteels zijn (geen simpel rekenfoutje), want langs wiskundige weg vond ik ook dat daar de helft van jkiens (en mijn) afwijking uitkomt.

[jkien]

We zien dat de grafieken vrijwel samenvallen. Aan de juistheid van de factor 2/3 in de formule van jkien (als uitstekende benadering) bestaat wat mij betreft geen twijfel meer.

Mooi!

N.a.v. de Atwoodmachine die de valtijd vergroot zat ik me af te vragen of er nog een alternatief is om het horizontale effect groter en duidelijker te maken. Een met water gevulde verticale buis met een zinkend haltertje lijkt me wel wat. De ene helft van een haltertje wil drijven en de andere helft wil zinken. Als geheel wordt het haltertje langzaam zinkend gemaakt zodat de zinktijd 100 s is. De buis is 1 m hoog, dus Δx = 2/3 ΩHT = 5 mm (op de evenaar). Het haltertje gaat scheef hangen omdat de zware helft naar het oosten wil, en de lichte helft vermoedelijk naar het westen. Die scheefstand van een haltertje is opvallender dan de horizontale afwijking van een enkelvoudige kogel. Lijkt me leuk speelgoed voor in het zwembad. In het zwembad eventjes de rotatie van de aarde bewijzen!

Valbuis 965 keer bekeken

Maar het zal lastig zijn om een goed haltertje te maken. Een enkelvoudig kogeltje is simpeler. Nog simpeler: zandkorrels met een korreldiameter van 0.1 mm, die zinken in water met een constante snelheid van circa 0.01 m/s, en het reynoldsgetal is circa 1, dus geen geslinger door vortexen. Een handvol zand door een trechter in het water laten zinken en dan kijken waar op de bodem het zandbergje ontstaat.

[Michel Uphoff]

Ik krijg nu de indruk dat je intuitief onderstaande vergelijking (1) aannemelijker vindt dan (2).

Nee, dat wil ik niet beweren. Maar als berekening 2x Uphoff altijd gelijke uitkomsten geeft als formule Jkien, dan moet daar - zoals Bartjes ook constateert - een fundamentele oorzaak voor zijn. Iets analoog aan ik lever de straal en jij de diameter van een cirkel.

[jkien]

Het is volgens mij compleet verklaard in de eerste regel van [post=947456]bericht #43[/post]. De Uphoff berekening gebruikt ten onrechte (1),

\(\Delta (x_1 - x_2) = \frac{v_1-v_2}{2} \Delta t \)

, in iedere stap, terwijl het (2),

\( \Delta (x_1 - x_2) = (v_1-v_2) \Delta t \)

, had moeten zijn. Halveren van de snelheid resulteert in halveren van de verplaatsing.

[Michel Uphoff]

Het is volgens mij compleet verklaard

Dat denk ik toch niet, in #46 schreef ik:

Heb net even gekeken of weglaten van de middeling van de snelheid (snelheid eind vorig blokje 1/10 seconde + snelheid eind huidig blokje 1/10 seconde / 2) nog iets wezenlijks uit zou maken. Maar dat is niet het geval. Het resultaat wijkt dan iets meer af dan 1/3 van die oorspronkelijk aanname van 33 mm. Maw middelen komt nauwkeuriger op 1/3 uit.

Het zou ook niet logisch zijn. Het enige dat ik doe is de beginsnelheid van ieder sample optellen bij de eindsnelheid, en de som door twee delen. Dat geeft een ongewogen gemiddelde. Dat moet bij een voldoende klein sample redelijk nauwkeurig zijn. Dat blijkt ook wel uit het hiervoor aangehaalde, laat ik die middeling weg en neem ik alleen de eindsnelheid zonder deling dan krijg ik vrijwel hetzelfde, zij het een iets onnauwkeuriger resultaat. Ik reken m.i. dus niet met abusievelijk gehalveerde waarden.

[Bartjes]

Wat er met Michel Uphoffs aanpak mis is, daar moet ik nog even over nadenken. Het moet iets fundamenteels zijn (geen simpel rekenfoutje), want langs wiskundige weg vond ik ook dat daar de helft van jkiens (en mijn) afwijking uitkomt.

Als de fout in Michels rekenwerk zat, valt niet te begrijpen waarom ik uitgaande van Michels idee diezelfde factor 1/2 verschil vond. Michel berekent de verplaatsing in een langs de toren met het steentje meevallend referentiestelsel. Dat zou in principe moeten kunnen. Wat ik denk dat er fout gaat is dat hij de horizontale snelheid van het steentje in zijn referentiestelsel verkeerd bepaalt. Als je van die snelheid uitgaat kom je (bij voldoende kleine stapjes) immers zoals uit mijn wiskundige afleiding blijkt noodzakelijk op die factor 1/2 verschil uit.

[Michel Uphoff]

Wat ik denk dat er fout gaat is dat hij de horizontale snelheid van het steentje in zijn referentiestelsel verkeerd bepaalt

Dat zou kunnen, en wat mij bezig houdt is: Waarom leiden mijn berekende waarden tot exact de halve waarden van jullie wiskundig model. Daar krijg ik mijn hersens maar niet omheen.

[jkien]

De snelheid van de steen wijzigt niet, het snelheidsverschil is dus 0,0036 mm/s.

Afstand steen-toren en afgelegde weg is in deze eerste 1/10 seconde gemiddeld 0,0036 mm/s / 2 * 0,1s = ...

De snelheid van de steen wijzigt niet, het snelheidsverschil is dus 0,01455 mm/s.

De afgelegde weg tov de toren is in deze 1/10 seconde gemiddeld 0,01455 mm/s / 2 * 0,1s = 0,000728 mm

Er is kennelijk een misverstand. Mijn voorstel was om die foute factor 2 te verwijderen. Het is onmogelijk dat dat geen effect heeft.

Dat denk ik toch niet, in #46 schreef ik:

Heb net even gekeken of weglaten van de middeling van de snelheid (snelheid eind vorig blokje 1/10 seconde + snelheid eind huidig blokje 1/10 seconde / 2) nog iets wezenlijks uit zou maken. Maar dat is niet het geval. Het resultaat wijkt dan iets meer af dan 1/3 van die oorspronkelijk aanname van 33 mm. Maw middelen komt nauwkeuriger op 1/3 uit.

Het zou ook niet logisch zijn. Het enige dat ik doe is de beginsnelheid van ieder sample optellen bij de eindsnelheid, en de som door twee delen. Dat geeft een ongewogen gemiddelde. Dat moet bij een voldoende klein sample redelijk nauwkeurig zijn. Dat blijkt ook wel uit het hiervoor aangehaalde, laat ik die middeling weg en neem ik alleen de eindsnelheid zonder deling dan krijg ik vrijwel hetzelfde, zij het een iets onnauwkeuriger resultaat. Ik reken m.i. dus niet met abusievelijk gehalveerde waarden.

In jouw berekening (bericht #37) wordt niet een beginsnelheid en een eindsnelheid (van een tijdsinterval Δt) bij elkaar opgeteld, en dan door 2 gedeeld. De snelheid is bijna constant gedurende het tijdsinterval Δt. Die bijna constante snelheid wordt door twee gedeeld, en dat is onjuist.

[Michel Uphoff]

In jouw berekening (bericht #37) wordt niet een beginsnelheid en een eindsnelheid (van een tijdsinterval Δt) bij elkaar opgeteld, en dan door 2 gedeeld.

Ach so! Inderdaad ben ik dat in die zin vergeten te vermelden zie ik nu. Niet handig. Verderop vermeld ik het wel en in de berekening wordt wel degelijk de som van beide snelheden door twee gedeeld.

Blijft des te prangender de vraag: waarom een factor 2?

[jkien]

Jouw oplossing als integraal geschreven is

\( d = \int_0^{\tau} (v_1-v_2) dt = \int_0^{\tau} (\Omega \, H - \Omega \, h) dt = \Omega \, H \, \tau - \Omega \, h_{gemiddeld} \, \tau = \Omega \, H \, \tau - \Omega \, \frac{2}{3} H \, \tau = \frac{1}{3} \Omega \, H \, \tau \)

De integraal die ik in [post=946455]bericht #12[/post] berekende was

\( d' = \int_{0}^{\tau} v dt = \int_{0}^{\tau} \Omega h dt = \Omega h_{gemiddeld} \, \tau = \frac{2}{3} \Omega \, H \, \tau \)

Nu ik ze vergelijk vind ik mijn integraal, d', onjuist. Bij een verticale reis in de lift met de gladde vloer: een tussenstop van de lift op een hoge verdieping doet d weinig groeien maar een tussenstop op een lage verdieping veel. De weegfactor van de hoogste verdieping is nul, de weegfactor van de laagste verdieping is 1.

Ik wissel van kamp en ga voor

\( d = \frac{1}{3} \Omega \, H \, \tau \)

, met pijn in het hart omdat de literatuur zegt dat de factor

\( \frac{2}{3} \)

moet zijn.

[Michel Uphoff]

Ik wissel van kamp en ga voor

Nou, welkom bij de club!

met pijn in het hart

Ik vind juist dat je daar trots op moet zijn. Het vereist meer moed van een algemeen aanvaard standpunt af te wijken dan je er aan vast te houden.

Interessant! Want als dit inderdaad zo is, hebben nogal wat wetenschappers zitten pitten. Ik ben benieuwd hoe Bartjes er tegen aan kijkt.

[Bartjes]

Interessant! Want als dit inderdaad zo is, hebben nogal wat wetenschappers zitten pitten. Ik ben benieuwd hoe Bartjes er tegen aan kijkt.

Mijn afleiding gaat net als jullie afleidingen voor de hoogte van het steentje uit van h = h_toren - 1/2 g t² . Dat is een benadering, want eigenlijk hebben we voor het steentje te doen met een Kepler-baan. Voor de horizontale snelheid van het steentje gaan jullie uit van de veronderstelling dat deze (bij benadering) constant is, terwijl ik voor de berekening daarvan Keplers perkenwet gebruik. Daarom denk ik ook dat mijn uitkomsten nauwkeuriger zijn dan die van jullie, en dus dichter bij de waarheid zitten. – Tenzij uiteraard iemand een fout in mijn afleiding weet aan te wijzen.