het onzekerheidsprincipe van Heisenberg

[Hacker]

Ken een van jullie mij misschien uitleggen hoe het zit met het onzerheidsprincipe. Ik snap niet waarom je niet tegerlijkertijd de impuls en de positie van een deeltje kan vaststellen.

bvd.

[Anonymous]

In tegenstelling tot wat veel mensen denken, is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg geen natuurkunde, maar wiskunde.

De onzekerheidsrelatie komt voort uit de Fouriertheorie. Kort gezegd is een Fouriertransformatie het volgende: Als je een functie hebt, dan kan je afvragen of en hoe deze functie geschreven kan worden als sommen (of integralen) van harmonische functies (sinussen en cosinussen). Voor heel veel functies blijkt dit te kunnen.

Als je een zootje functies en hun Fouriergetransformeerde bekijkt, dan zie je dat hoe sneller de functie naar 0 gaat in oneindig, hoe trager de Fouriergetransformeerde naar 0 gaat, en andersom. De onzekerheidsrelatie maakt dit expliciet.

In de natuurkunde (quantummechanica) kan je door Fouriertransformatie impuls- en plaats-coördinaten met elkaar verwisselen. Als je de golffunctie* van een deeltje bekijkt in de plaatscoördinaten, dan kan je door Fouriertransformatie de golffunctie in impulscoördinaten uitdrukken. De onzekerheidsrelatie komt dan overgewaaid uit de Fouriertheorie.

Ik hoop dat dit (toch wel een beetje technisch) praatje een beetje duidelijk maakt waar de onzekerheidsrelatie vandaan komt: Het is iets wiskundigs, en door de formuleringen waaruit de quantummechanica bestaat manifesteert hij zich ook in de natuurkunde.

*In de quantummechanica geeft het kwadraat van golffunctie de kansdichtheid aan dat je een deeltje op een bepaalde plek aantreft. Een golffunctie in impulscoördinaten geeft de kansdichtheid aan dat je een deeltje met een bepaalde impuls aantreft.

[Revelation]

De waarneming op dit niveau worden gedaan met licht. Maar licht beïnvloed de plaats en het impuls van het elektron. Dus als je een zwakke lichtstraal gebruikt, krijg je de plaats minder nauwkeurig, maar verander je het impuls ook minder. Gebruik je energetisch licht (gamma), dan heb je de plaats nauwkeurig maar verander je het impuls ook veel meer. De onzekerheidsrelaties geeft de onzekerheid van de positie en het impuls weer met behulp van een golffunctie. Waar deze het hoogst is, is de plaats om het elektron aan te treffen het grootst.

[Hacker]

ik snap het nog steeds niet, het is waarschijnlijk niet zo simpel.

[Anonymous]

ik snap het nog steeds niet, het is waarschijnlijk niet zo simpel.

Je kunt het ook anders formuleren.

In de QF werk je met operatoren. Die laat je op de golffunctie werken, en die geeft je dan bv de energie, of de impuls. Die golffunctie bevat dus alle informatie over het deeltje, maar is niet waarneembaar !

Nou kun je ook 2 operatoren op een golffunctie loslaten. Bv, neem es als operatoren p en q. En als golffunctie psi. Dan kun je dus als volgt deze 2 op psi laten inwerken:

p(q(psi)), of

q(p(psi)).

Naief zou je zeggen dat dat hetzelfde oplevert. Maar dat is niet zo ! Als voorbeeld kun je nemen, dat p de functie met de variabele x vermenigvuldigt, en q neemt de afgeleide naar x: d/dx. Dus:

p=x

q=d/dx.

Je kunt nu makkelijk inzien dat p(q(psi)) niet gelijk is aan q(p(psi)). Bij de eerste neem je eerst d(psi)/dx, en dat vermenigvuldig je met x. Bij de tweede vermenigvuldig je eerst met x, en daar neem je de afgeleide van:

d/dx(x*psi)=x*d(psi)/dx + psi. De volgorde van operatoren is dus erg belangrijk ! In de quantumfysica definieer je daarom zoiets als een commutator:

[p,q]=pq-qp.

Dit is een heel erg belangrijk begrip in de quantumfysica !

Het onzekerheidsprincipe zegt nu, en dat is iets wat je niet goed kunt begrijpen zonder lineaire algebra gehad te hebben, dat als [p,q]=0, dat je dan de grootheden die p en q je geven als je deze op psi laat inwerken, tegelijkertijd exact kunt meten. Anders niet ! Dus in dit geval zou je p=x en q=d/dx, mochten deze grootheden geven ( en dat doen ze, namelijk de plaats en de impuls van een deeltje ), niet tegelijkertijd exact kunnen meten. En dat is niet omdat we niet de juiste meetapparatuur hebben; dat is omdat de natuur ze simpelweg niet allebei tegelijkertijd exact heeft gedefinieerd !

Je kunt het ook via Fourieranalyse bekijken, maar ik denk dat dit wat makkelijker is.

[Hacker]

Is het zo dat als je b.v. de positie wil bepalen door deze te meten, de impuls van het deeltje niet c.q. niet nauwkeurig te meten is op hetzelfde moment, doordat de meting in de weg zit of het resultaat beinvloed?

[Rov]

Kijk in de Minicursus QM voor een andere, waarschijnlijk meer begrijpbare, uitleg.

[StrangeQuark]

Als je het wiskundige verhaal een beetje ingewikkeld vind, dan heb ik ooit eens een verhaaltje geschreven over het onzekerheidsprincipe op de makkelijkere methode. Het stond in een stukje wat heel simpel snaar theorie uitlegde.

Stel je voor dat je wilt weten waar een electron zich bevind, en hoe snel dit electron gaat. Dit zijn als het ware de belangrijkste grootheden van een deeltje. Immers als je weet hoe hard een auto gaat en waar hij is, dan weet je precies waar hij over 10 seconden is. (als hij geen bocht maakt)  

Hoe zou je dat kunnen meten? De meest precieze en voorzichtige manier is om er met 1 enkel foton op af te schieten. Je schiet met 1 foton op het electron en je kijkt hoe het foton wegketst. Zo werkt een microscoop. Licht ketst van een object af via de lens in jouw ogen. Dus het foton "verteld" hoe het eruit ziet.  

Het is eigenlijk alsof je een lege sporthal hebt met daarin 1 skippybal die jij moet vinden. Je krijgt van mij een blinddoek om en je moet met behulp van allemaal volleyballen de skippybal terug vinden. Je gaat gewoon een voor een die volleyballen gooien en wacht totdat je het geluid hoort van een volleybal die tegen een skippybal aankomt.  

Als je dan kijkt waar je volleybal naar toe gestuiterd is (afgeketst van de skippybal) kan je berekenen waar de skippybal was. Stel je nou voor dat je precies kan bereken waar je volleybal vandaan kwam, dan weet je dat daar de skippybal ergens moest zijn. Het probleem is dat je niet precies weet waar de skippybal was, want je volleybal is 30 cm breed. Dus je weet met een onnauwkeurigheid van 30 cm waar de skippybal was. Je kan namelijk de skippybal vol geraakt hebben met je volleybal, of maar een klein beetje, dat weet je niet, want je was geblindoekt.  

Hoe zou je dan meer precies kunnen weten waar de skippybal is?  

Je zou bijvoorbeeld een kleinere bal kunnen gebruiken dan een volleybal. Maar naarmate je een kleinere bal uitzoekt uit het gymlokaal, merk je dat alle kleinere ballen die er zijn, ook VEEL zwaarder zijn. De volgende bal is bijvoorbeeld een kogelstootbal. (maar iets van 10cm), dus nu weet je het 9 keer precieser waar de skippybal is. Je zou denken mooi toch, laten we een zo'n klein mogelijke bal zoeken en daarmee gaan gooien. In het electronen verhaal betekent het dat je licht gebruikt met een steeds kleinere golflengte. Je weet namelijk waar het electron is op 1 golflengte preciesie. De golflengte is namelijk de diameter van het foton (30cm bij de volleybal)  

Echter:  

Echter wat je vergeten was, is dat je ook over een deeltje de snelheid wilt weten. Bij een experiment bewegen de deeltjes altijd, dus dan wil je ook altijd de snelheid weten. We laten dus nu de skippybal rollen over de grond. Dus je wilt ook weten hoe snel de skippybal (je weet de massa toch wel, die verandert niet) eigenlijk gaat en waar hij is.  

Nu komt de narigheid:  

Je gooit dus nu met de volleybal, die erg licht is. Nu weet je vrij onprecies waar de skippybal is, maar je weet wel vrij goed hoe snel hij gaat. (je kijkt hoe hard de volleybal terug stuitert ofzo). De volleybal verstoort door haar lichte gewicht niet heel erg de snelheid van de skippeybal. Als je nou precieser wilt weten waar hij is, dan pak je de kogelstootbal, dan weet je 9x precieser waar hij is, maar dan verstoor je de snelheid vele malen meer, omdat je met een veel zwaardere bal gooit tegen de skippeybal. Je ziet zo dat je nooit zowel alles over de snelheid van de skippybal kan weten, als over waar de skippybal eigenlijk is.  

Heisenbergs-onzekerheidsprincipe:  

Dit is Heisenbergs onzekerheidsprincipe. Als je wilt weten waar een electron is, dan moet je hier met minimaal 1 foton op schieten. Een foton heeft een golflengte, dus je weet de lokatie nooit precieser dan de golflengte (de diameter van de volleybal) lang is. Je kan een kleinere golflengte kiezen (de kogelstootbal) maar dan wordt het licht energetischer (hoe kleiner de bal, hoe zwaarder de bal was in het voorbeeld) en dan schop je het electron harder uit zijn baan. Namelijk hoe kleiner de golflengte van licht is deste energetischer het licht is. Gamma straling heeft een enorm kleine golflengte en is ook erg energetisch. Dat maakt gammastraling dodelijk, en gewoon daglicht niet. Het verstoort het electron gigantisch qua snelheid maar je weet wel dat als je photon terug komt, dat je het electron geraakt hebt, en dat het dus ergens in dei kleine golflengte moet liggen.

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...?showtopic=7368

[Juur]

Ik bekijk het zo:

Stel je voor een eenvoudige sinus golf.

Je kan hier 2 dingen aan meten nl. amplitude en frequentie.

Maar je weet niet waar de golf is. De golf is oneindig lang.

Om de presize plek van een "golfpaket"(deeltje) te bepalen "veranderd" de sinus in een puls. Nu weet je waar het is maar kan je geen frequentie meten.

Een puls heeft alle frequenties tegelijk.

[Hacker]

dankje wel mensen, jullie hebben mij weer volledig op de hoogte gesteld

[Jan Stemerdink]

Steven Weinberg (1992) zegt het als volgt (in Dromen over een alomvattende theorie):

Om een nauwkeurige meting van de positie te krijgen, moet het licht met een korte golflengte worden gebruikt, omdat de diffractie [het verschijnsel dat lichtstralen geen rechte lijn volgen wanneer ze heel dicht langs een object of door een heel klein gaatje gaan] het beeld van alles wat kleiner is dan de golflengte van het licht onscherp maakt. Licht met een korte golflengte bestaat echter uit fotonen met een navenant hoge impuls, en wanneer fotonen met een hoge impuls worden gebruikt om een elektron te observeren, stuitert dat elektron noodzakelijkerwijs door de schok terug en neemt daarbij een deel van de impuls van het foton mee. Dus hoe nauwkeuriger we de positie van een elektron willen meten, des te minder weten we na de meting over zijn impuls.

Zie ook http://wp.me/p1RCwY-19