Paradox: Achilles En De Schildpad

[Michel Uphoff]

@physicalattraction

De Planckeenheden aannames noemen vind ik nogal cru, consequent zou je dan ook de onderliggende natuurconstanten en in feite de basis van onze natuurwetenschappen een aanname moeten noemen.

Ik haal de Planckeenheden er ook niet bij, ik stel ze voor ze als een alternatieve oplossing van het probleem. De honderden pagina's discussie over de Zeno paradoxen (en alle varianten), en de bepaald niet intuïtieve wiskundige oplossingen zijn niet nodig, want er is een kleinste van alles zoals Philos Iraptor als vermoedde.

En dan is de oplossing van de paradox opeens zeer inzichtelijk, ook voor niet wiskundigen.

[EvilBro]

Ik zou zeggen dat de paradox slecht gesteld is. Stel dat er een tweede schildpad is en deze heeft dezelfde snelheid als de eerste schildpad, maar begint achter de eerste schildpad. Op het moment dat Achilles aankomt op de plek waar de eerste schildpad begon, treft hij daar de tweede schildpad (dit legt het startpunt van de tweede schildpad vast). Maar! dit kan niet. Immers Achilles kan geen schildpadden inhalen. Voor de tweede schildpad geldt immers precies hetzelfde argument als voor de eerste schildpad. Met een derde, vierde, vijfde, enz. schildpad kan je nou aantonen dat Achilles niet kan bewegen. De paradox gaat echter ervan uit dat bewegen mogelijk is (anders ontstaat de paradox niet). Kortom de paradox is niet consistent.

[tempelier]

Dat laatste zag Zeno ook wel, daarom zijn er nog twee paradoxen.

Wat vaak vergeten wordt is dat die drie paradoxen bij elkaar horen.

[Bartjes]

De discussie gaat voorbij aan datgene wat er al bekend is. Zie hier voor de achtergronden:

http://www.iep.utm.edu/zeno-par/

Daaruit blijkt ook dat mijn hier gepresenteerde benadering helemaal zo gezocht niet is.

[eendavid]

Het is een gekende strategie om een ellenlange referentie te geven, om zo de essentie te verhullen. Echter, de problematiek zal niet veranderen door het lezen van de referentie . Deze referentie in het bijzonder doet je standpunt zeker geen deugd:

Notice that, although space and time are infinitely divisible for Zeno, he did not have the concepts to properly describe the limit of the infinite division. Neither Zeno nor any of the other ancient Greeks had the concept of a dimensionless point; they did not even have the concept of zero. However, today’s versions of Zeno’s Paradoxes can and do use those concepts.

Of verder:

The following–once presumably safe–intuitions or assumptions must be rejected: ... 3. The sum of an infinite series of positive terms is always infinite.

[Bartjes]

Laat de mensen die willen weten wat er in loop van de tijd over Zeno's paradoxen gedacht is gewoon die link lezen. Dan zullen ze zien dat alles wat er in dit topic door anderen en mijzelf geopperd is al lang en breed bekend is. Ook mijn benadering staat daarin. Ik heb vroeger ook een scriptie over die paradoxen geschreven, en er boeken en artikelen over gelezen. Ik weet echt wel waar ik het over heb. Maar ik heb er geen zin meer in twistgesprekken te voeren die voorbij gaan aan wat iedereen voor zichzelf kan nalezen.

[eendavid]

Als mensen gemotiveerd zijn om verder te lezen is dat uiteraard prima, en ik denk niet dat iemand ervan overtuigd is dat hier iets nieuws wordt verteld. Dat geldt voor vele onderwerpen die op dit forum besproken worden.

Door gebruik te maken van limieten is de bespreking glashelder. Als je dat om onduidelijke redenen verwerpt, is het niet onredelijk dat je wordt tegengesproken. Met twistgesprekken of autoriteit heeft dat weinig te maken, enkel met een heldere bespreking van het onderwerp.

[Bartjes]

Door gebruik te maken van limieten is de bespreking glashelder. Als je dat om onduidelijke redenen verwerpt, is het niet onredelijk dat je wordt tegengesproken. Met twistgesprekken of autoriteit heeft dat weinig te maken, enkel met een heldere bespreking van het onderwerp.

Nog één reactie dan, en daar laat ik het bij. Ik heb een grote bewondering voor de intellectuele prestaties van de oude Grieken. Daarom vind ik een interpretatie en oplossing van de paradox die het probleem ziet in de (al dan niet eindige) som van een oneindige reeks van tijdsspannen ook onaannemelijk. Het probleem zit 'm volgens mij in de (onjuiste) veronderstelling dat je met iets dat na ieder stapje nog een volgend stapje vereist nooit klaar komt. Op het eerste gezicht is die veronderstelling immers zo klaar als een klontje. Maar helaas is onvoldoende over Zeno overgeleverd om te kunnen bepalen wat hij precies bedoeld heeft. Welke interpretatie de juiste is zullen we wellicht nooit weten.

[perdarx]

Nee want het gaat niet ten opzichte van de schildpad. Achilles en de schildpad zijn allebei verschillende bewegende objecten die zonder elkaar te beÏnvloeden kunnen bewegen. bijvoorbeeld ik ga 1 meter per seconde en jij twee jij legt een grotere afstand af in dezelfde tijd

ik hoop dat je hier iets mee kunt.

Mvg,

perdarx

[Nick wildeni wete]

De wiskunde kan bewijzen dat Achilles de schildpad inhaalt met behulp van limieten. En eigenlijk hoef je slechts één ding te doen: teken de grafieken van Achilles en de schildpad. Voor de schildpad: y=x, voor Achilles: y=2x - 4

Snijpunt: x=2, dus Achilles haalt de schildpad in na twee "tijdverlopen" (bvb. na 2 seconden).

[Uomo Universale]

De wiskunde kan bewijzen dat Achilles de schildpad inhaalt met behulp van limieten. En eigenlijk hoef je slechts één ding te doen: teken de grafieken van Achilles en de schildpad. Voor de schildpad: y=x, voor Achilles: y=2x - 4

Snijpunt: x=2, dus Achilles haalt de schildpad in na twee "tijdverlopen" (bvb. na 2 seconden).

Toch maar even zeggen dat het snijpunt van de twee functies die je opsomde niet x = 2 is en wat je hier zegt bitter weinig met limieten (en met de oorspronkelijke vraag) te maken heeft.

[fransamsterdam]

Ik ben niet zo goed in wiskunde en limieten en zo, maar heb desondanks voor mezelf toch een verklaring gevonden die voor mij bevredigend is, dus ik wil hem u niet onthouden.

Stel ik heb een videocamera die 32 beeldjes per seconde vastlegt.

t0 = beeldje 0, t1 = beeldje 1, t2 = beeldje 2 enzovoort. (Voor mijn part deelt u de beeldjes 0 tot 1, 1 tot 2, 2 tot 3 enzovoort ook weer onder in beeldje t1+1p, 1s + 1 plancktijd, t1+2p, 1s + 2 plancktijden en ga zo maar door, dat maakt niet uit.) Het is duidelijk dat de schildpad bij t64 (2 seconden) wordt ingehaald.

In de paradox wordt echter bij het afspelen de tijd gemanipuleerd.

In de eerste seconde ziet de kijker 32 beeldjes, in de 2e seconde 16 beeldjes, enzovoort.

Het afspelen van de opname van 2 seconden duurt zo oneindig lang.

Zowel de schildpad als Achilles lijken, na een vliegende start, vol op de rem te trappen.

32+16+8+4+2+1+0.5+0.25+.0125 ...... etc.

Ik kan blijven kijken tot ik een ons weeg, beeldje nr 64 en verder komen nooit in beeld, maar ze zijn er wel.

[fransamsterdam]

(Voor mijn part deelt u de beeldjes 0 tot 1, 1 tot 2, 2 tot 3 enzovoort ook weer onder in beeldje t1+1p, 1s + 1 plancktijd, t1+2p, 1s + 2 plancktijden en ga zo maar door, dat maakt niet uit.)

Dit klopt niet. Waar hier 1s staat bedoelde ik (1/32)s.

[317070]

Ik ben niet zo goed in wiskunde en limieten en zo, maar heb desondanks voor mezelf toch een verklaring gevonden die voor mij bevredigend is, dus ik wil hem u niet onthouden.

Stel ik heb een videocamera die 32 beeldjes per seconde vastlegt.

t0 = beeldje 0, t1 = beeldje 1, t2 = beeldje 2 enzovoort. (Voor mijn part deelt u de beeldjes 0 tot 1, 1 tot 2, 2 tot 3 enzovoort ook weer onder in beeldje t1+1p, 1s + 1 plancktijd, t1+2p, 1s + 2 plancktijden en ga zo maar door, dat maakt niet uit.) Het is duidelijk dat de schildpad bij t64 (2 seconden) wordt ingehaald.

In de paradox wordt echter bij het afspelen de tijd gemanipuleerd.

In de eerste seconde ziet de kijker 32 beeldjes, in de 2e seconde 16 beeldjes, enzovoort.

Het afspelen van de opname van 2 seconden duurt zo oneindig lang.

Zowel de schildpad als Achilles lijken, na een vliegende start, vol op de rem te trappen.

32+16+8+4+2+1+0.5+0.25+.0125 ...... etc.

Ik kan blijven kijken tot ik een ons weeg, beeldje nr 64 en verder komen nooit in beeld, maar ze zijn er wel.

Kijk, dat vind ik nu een mooie, intuitieve en correcte uitleg Dat ga ik nog gebruiken.

[Bartjes]

Dat is inderdaad hoe de paradox werkt, als tijdsduren oneindig deelbaar zijn kan je door een (on)handige keuze van de bekeken tijdstippen oneindig lang bezig zijn met die allemaal te bekijken zonder ooit aan het moment van passeren toe te komen.