Biljartballen Probleem

[PeterPan]

hoe weet je bij a.2 dat ie lichter is?

Omdat de ballen 1,2 en 3 geen afwijkend gewicht hebben.

[TD]

Er mag toch ook nog iets werk overblijven? Ik bedoel met "enz" niet dat de puzzel al klaar was, maar de redenering is nu toch duidelijk dacht ik.

[nutasjuh]

zover was ik ook wel, maar dan komt pas het probleem want als je het gaat uitwerken komt het niet uit

[TD]

Goed, dan maar verder...

b) > -> het zit in {1 2 3 4} en is te zwaar of in {5 6 7 8} en is te licht

-> tweede weging: 1 2 8 <-> 4 5 10

b.1) = -> het is 3 (zwaar) of een van {6 7} (licht).

-> derde weging: 6 <-> 7

b.1.1) = -> 3 (zwaar)

b.1.1) < -> 7 (licht)

b.1.1) > -> 6 (licht)

[dr. E. Noether]

Voor het geval je geen zin meer hebt om erover na te denken: dit raadsel is ook wel bekend als het probleem met 12 boksers waarvan jij dan in maximaal drie metingen moet bepalen wie een afwijkend gewicht heeft [beschreven in: ''Spelen met uw intelligentie'', J. en H.E. Eelkman Rooda, ISBN 90 6071 245 5].

[nutasjuh]

ow oke bedankt

[Math]

Verdeel de twaalf ballen eerst in drie groepen van elk vier: A, B en C. Weeg vervolgens groep A en B met elkaar. Hierbij kunnen de volgende situaties ontstaan:

(1) groep A en B wegen even zwaar:

Dit betekent dat de bal met een ander gewicht in groep C moet zitten. We nemen nu twee ballen uit groep C (aangeduid met C1 en C2) en wegen die tegen twee ballen uit groep A (aangeduid met A1 en A2 en waarvan we al weten dat ze een correct gewicht hadden). Wederom zijn er twee verschillende resultaten mogelijk:

(1a) C1 + C2 zijn even zwaar als A1 + A2:

Dit betekent dat C3 of C4 de bal is met een afwijkend gewicht. Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C3 wegen tegen A1 (= een correct bal). Als deze gelijk gewicht hebben is C4 de afwijkende bal en anders C3.

(1b) het gewicht van C1 + C2 is verschillend van A1 + A2:

Dit betekent dat C1 of C2 de bal is met een verschillend gewicht. Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C1 wegen tegen A1 (= een correcte bal). Als deze gelijk gewicht hebben is C2 de afwijkende bal en anders C1.

(2) A en B hebben een verschillend gewicht:

Noem de lichte groep: A, en de zwaardere groep: B. Nu weten we dat de overgebleven groep C uitsluitend uit correcte ballen bestaat. Voer vervolgens de volgende weging uit: neem twee ballen uit groep A en twee ballen uit groep B (te weten: A1, A2, B1 en B2) en weeg ze tegen een bal uit A, een bal uit B en twee ballen uit C (A3, B3, C1, and C2). Nu kunnen de volgende drie situaties ontstaan:

(2a) A1 + A2 + B1 + B2 zijn even zwaar als A3 + B3 + C1 + C2:

Dit betekent dat A4 of B4 de bal is met een afwijkend gewicht. Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld A4 wegen tegen C1 (= een correct bal). Als deze gelijk gewicht hebben is B4 de afwijkende bal en anders A4.

(2b) A1 + A2 + B1 + B2 zijn lichter dan A3 + B3 + C1 + C2:

Dit betekent dat of A1 of A2 een afwijkend gewicht heeft (lichter) of B3 van een afwijkend gewicht is (zwaarder). Nu kunnen we A1 + B3 tegen C1 + C2 wegen, hetgeen de volgende situaties kan opleveren:

(2bi) A1 + B3 zijn even zwaar als C1 + C2:

Dit betekent dat A2 een afwijkend gewicht heeft.

(2bii) A1 + B3 zijn lichter dan C1 + C2:

Dit betekent dat A1 een afwijkend gewicht heeft.

(2biii) A1 + B3 zijn zwaarder dan C1 + C2:

Dit betekent dat B3 een afwijkend gewicht heeft.

(2c) A1 + A2 + B1 + B2 zijn zwaarder dan A3 + B3 + C1 + C2:

Analoog aan 2b...

bron

[phi hung]

Math,

De probleemstelling van natasjuh is iets uitgebreider dan de probleemstelling van jouw muntenprobleem of die van het raadsel van dr. E. Noether (drie reacties terug).

De oplossing die je geeft, is daardoor onjuist. Je weet dan wel welk bal een afwijkend gewicht heeft, maar het is vaak nog niet duidelijk of die lichter of zwaarder is (bijvoorbeeld als C4 de afwijkende bal is).

Maar maak je geen zorgen. Want volgens mij heeft TD al bijna de gehele oplossing gegeven.

[dr. E. Noether]

Phi Hung, ik vergat inderdaad in de vertaling naar het bokser-probleem te vermelden dat ook wordt behandeld of de afwijkende persoon zwaarder dan wel lichter is. Het probleem is dus geheel identiek. Excuses.

[phi hung]

Goed, dan maar verder...

b) > -> het zit in {1 2 3 4} en is te zwaar of in {5 6 7 8} en is te licht

-> tweede weging: 1 2 8 <-> 4 5 10

b.1) = -> het is 3 (zwaar) of een van {6 7} (licht).

-> derde weging: 6 <-> 7

b.1.1) = -> 3 (zwaar)

b.1.1) < -> 7 (licht)

b.1.1) > -> 6 (licht)

Of:

-> tweede weging: 1 2 5 <-> 3 4 6

[Veertje]

Ten behoeve van de minder wiskundknobbeligen onder ons die in het WSF cafe hard proberen e.e.a. te begrijpen (zie link verderop) voel ik me geroepen de zaken duidelijk op een rijtje te zetten:

Math (of eigenlijk de site waar hij het vandaan plukte) kon alleen maar op 1 punt niet bepalen of een bal zwaarder of lichter was nl. bij gelijke uitslag van weging 1 en daaropvolgende keuze voor weging 2 (situatie 1a):

Verdeel de twaalf ballen eerst in drie groepen van elk vier: A, B en C. Weeg vervolgens groep A en B met elkaar. Hierbij kunnen de volgende situaties ontstaan:

(1) groep A en B wegen even zwaar:

Dit betekent dat de bal met een ander gewicht in groep C moet zitten. We nemen nu twee ballen uit groep C (aangeduid met C1 en C2) en wegen die tegen twee ballen uit groep A (aangeduid met A1 en A2 en waarvan we al weten dat ze een correct gewicht hadden). Wederom zijn er twee verschillende resultaten mogelijk:

(1a) C1 + C2 zijn even zwaar als A1 + A2:

Dit betekent dat C3 of C4 de bal is met een afwijkend gewicht. Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C3 wegen tegen A1 (= een correct bal). Als deze gelijk gewicht hebben is C4 de afwijkende bal en anders C3. Dit klopt niet: C3 wordt in de tweede weging gewogen en daaruit blijkt of hij zwaarder of lichter is. Echter C4 werd nooit gewogen. Deze blijft dus onbekend.

(1b) het gewicht van C1 + C2 is verschillend van A1 + A2:

Dit betekent dat C1 of C2 de bal is met een verschillend gewicht. Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C1 wegen tegen A1 (= een correcte bal). Als deze gelijk gewicht hebben is C2 de afwijkende bal en anders C1. Dit klopt. We weten immers of C1 en C2 samen zwaarder of lichter zijn dan A1 en A2.

(2) A en B hebben een verschillend gewicht:

Noem de lichte groep: A, en de zwaardere groep: B. Nu weten we dat de overgebleven groep C uitsluitend uit correcte ballen bestaat. Voer vervolgens de volgende weging uit: neem twee ballen uit groep A en twee ballen uit groep B (te weten: A1, A2, B1 en B2) en weeg ze tegen een bal uit A, een bal uit B en twee ballen uit C (A3, B3, C1, and C2). Nu kunnen de volgende drie situaties ontstaan:

(2a) A1 + A2 + B1 + B2 zijn even zwaar als A3 + B3 + C1 + C2:

Dit betekent dat A4 of B4 de bal is met een afwijkend gewicht (en we weten ook dat A4 lichter moet zijn of B4 zwaarder moet zijn). Nu kunnen we dit na gaan in een derde weging, waarbij we bijvoorbeeld A4 wegen tegen C1 (= een correct bal). Als deze gelijk gewicht hebben is B4 de afwijkende bal (zwaarder) en anders A4.(lichter)

(2b) A1 + A2 + B1 + B2 zijn lichter dan A3 + B3 + C1 + C2:

Dit betekent dat of A1 of A2 een afwijkend gewicht heeft (lichter) of B3 van een afwijkend gewicht is (zwaarder). Nu kunnen we A1 + B3 tegen C1 + C2 wegen, hetgeen de volgende situaties kan opleveren:

(2bi) A1 + B3 zijn even zwaar als C1 + C2:

Dit betekent dat A2 een afwijkend gewicht heeft (en lichter is).

(2bii) A1 + B3 zijn lichter dan C1 + C2:

Dit betekent dat A1 een afwijkend gewicht heeft (en lichter is).

(2biii) A1 + B3 zijn zwaarder dan C1 + C2:

Dit betekent dat B3 een afwijkend gewicht heeft (en zwaarder is)

(2c) A1 + A2 + B1 + B2 zijn zwaarder dan A3 + B3 + C1 + C2:

Analoog aan 2b...

bron

Omdat bovenstaande bewerking ons in situatie 1a niet tot het gewenste resultaat leidt pakken we TD's oplossing erbij (die volgens mij helemaal klopt, maar die in stukken gepresenteerd werd, waardoor men, in combi met Math's stukje, in deze topic het bos door de bomen niet meer ziet):

Ga uit van de weging die ik voorstelde, dus 1 2 3 4 <-> 5 6 7 8.  

a) = -> bal zit in {9 10 11 12}  

-> tweede weging: 1 2 3 <-> 9 10 11  

a.1) = -> het is 12  

-> derde weging om licht/zwaar te bepalen  

a.2) > -> bal zit in {9 10 11} en is te licht  

-> derde weging: 9 <-> 10 (etc)  

a.2.1) = -> 11 is te licht  

a.2.2) > -> 10 is te licht  

a.2.3) < -> 9 is te licht  

a.3) < -> bal zit in {9 10 11} en is te zwaar  

-> analoog aan a.2

b) > -> het zit in {1 2 3 4} en is te zwaar of in {5 6 7 8} en is te licht  

-> tweede weging: 1 2 8 <-> 4 5 10  

b.1) = -> het is 3 (zwaar) of een van {6 7} (licht).  

-> derde weging: 6 <-> 7  

b.1.1) = -> 3 (zwaar)  

b.1.1) < -> 7 (licht)  

b.1.1) > -> 6 (licht)

Dit breiden we voor de duidelijkheid uit met:

b.2) > -> het is een van {1, 2} (zwaar) of 5 (licht)

-> derde weging: 1 <-> 2

b.2.1) = -> 5 (licht)

b.2.2) > -> 1 (zwaar)

b.2.2) < -> 2 (zwaar)

b.3) < -> het is 4 (zwaar) of 8 (licht)

-> derde weging: 4 <-> 10

b.3.1) = -> 8 (licht)

b.3.2) > -> 4 (zwaar)

c) < -> het zit in {1 2 3 4} en is te licht of in {5 6 7 8} en is te zwaar

Verdere uitwerking analoog aan b).

Geen speld tussen te krijgen volgens mij.

[TD]

Ik zou het opnieuw moeten lezen om terug te kunnen volgen, maar ik herinner me wel dat ik dat toen had uitgeschreven, volgens mij klopte die uitwerking.

[martina]

ik heb de oplossing, zelf bedacht, binnen 3 uur.

[Phys]

Volgens mij vraag je om:



bij deze dan:

[tobiassegura]

Manier 1:

Weging 1: 4 en 4. Als ze gelijk blijven houd je er 4 over, dus dan kom je er makkelijk (2 tegen 2 die het niet zijn en daarna 1 tegen 1 die het niet is). Als 1 kant doorslaat houd je 8 ballen over waarvan 4 misschien licht en 4 misschien zwaar. Noem ik even 4L en 4Z

Weging 2: LLZ en LLZ (en 2Z en 4X apart)

Als weegschaal gelijk blijft is het een van de 2Z die je apart had.

Als de weegschaal doorslaat houd je 2 L en 1 Z over (van tegenovergestelde kanten van de weegschaal)

Weging 3: L en L

Indien hij gelijk blijft is het de Z die je overhad. Indien hij doorslaat is de lichte kant de lichte.

-----------------------

Manier 2:

a=bal onbekend gewicht

b=bal bekend gewicht

Weging 1

A1234 -- A5678 en B1234 houd je apart

Weging 2

B123A5 -- A4678 en A123B4 houd je apart

Als hij in evenwicht blijft houd je A123 over en je weet of de afwijkende bal lichter of zwaarder is vanwege weging 1, dus dan weeg je 1 tegen 1 en kom je er makkelijk.

Als hij naar dezelfde kant doorslaat houd je A678 over en je weet of de afwijkende bal lichter of zwaarder is vanwege weging 1, dus idem.

Als hij naar de andere kant doorslaat, dan a5 is de lichtere of a4 is de zwaardere. Dan doe je 1 van die 2 tegen een bal die het niet is en dan weet je het ook.

Leuk raadsel!