1e orde differentiaalvergelijking met een kwadraat

[mathfreak]

Hint: schrijf de d.v. eens als mv'+cv² = F en los deze d.v. eens op als F = 0. Zie je daarmee kans om een algemene oplossing voor de oorspronkelijke d.v. te vinden?

[Safe]

Staat er:

\(m\frac{dv}{dt}=F-cv^2\)

Hoe kom je aan deze verg, maw wat is je opgave?

[reinoudb]

Wil een vergelijking opstellen om snelheid van een voertuig uit te rekenen. Ik begin met Fres= Faandrijving - Fweerstand. Dit wil ik dan steeds meer uitbreiden met invloed van motorkarakteristiek enz.

Ik heb het hier simpel gehouden door Faandrijving constant te kiezen en de c in Fweerstand (luchtweerstand) staat voor de overige factoren. Je kunt de formule vast wel opzoeken, maar ik wil er ook wat van leren.

[reinoudb]

@mathfreak weet niet hoe ik dat moet oplossen. Het is geen lineaire vergelijking toch?

[mathfreak]

@mathfreak weet niet hoe ik dat moet oplossen. Het is geen lineaire vergelijking toch?

Schrijf voor v' eens

\(\frac{dv}{dt}\)

. Hoe komt de d.v. mv'+cv² = 0 er dan uit te zien? Welke oplossing heeft deze d.v,. en hoe kun je nu de algemene oplossing van de oorspronkelijke d.v. vinden?

[Flisk]

Het kan op gelijkaardige manier als de vorige. Je krijgt dan wel ergens een min teken i.p.v. plus teken, dus zal de primitieve anders zijn.

[reinoudb]

ik zie 'm nu:

m dv/dt = F-cv^2

> m(F-cv^2)dv = dt

[mathfreak]

ik zie 'm nu:

m dv/dt = F-cv^2

> m(F-cv^2)dv = dt

Dat klopt niet. Deel in

\(m\frac{dv}{dt}=F-cv^2}\)

eerst eens links en rechts door m en kijk dan eens hoe je verder gaat.

[reinoudb]

Sorry, moet zijn

m 1/(F-cv^2)dv=dt. Of klopt dit ook niet?

[mathfreak]

Sorry, moet zijn

m 1/(F-cv^2)dv=dt. Of klopt dit ook niet?

Zo klopt het inderdaad. Door nu links en rechts te integreren en links partieel breuksplitsen toe te passen vind je de gevraagde uitdrukking voor v.

[Flisk]

Je kan de breuk splitsen, maar dat hoeft niet.

\(\frac{1}{1-x^2}\)

heeft ook een primitieve.

(hint: inverse hyperbolische functies)

off-topic: Je kan het op twee manieren doen en zo een identiteit ontdekken tussen een bepaalde inverse hyperbolische functie en een uitdrukking met logaritmes.

[reinoudb]

Eerst maar es met breuksplitsing proberen..

1/(F-cv^2)dv=dt

>m/c 1/(F/c-v^2)dv=dt

>m/c A/(v-sqrt(F/c)) + B/(v+sqrt(F/c))dv = dt

Nu nog achter A en B zien te komen en dan integreren. Vraag me af of ik nog goed ga tot zo ver

[Flisk]

Ziet er goed uit. Je kan het op die manier doen. Weet je hoe je A en B moet vinden?

Kleine opmerking:

Ik vind het makkelijker om direct te integreren.

Daarna teller en noemer delen door F i.p.v. c.

Daarna substitutie uitvoeren zodat je iets in de vorm krijgt van constante maal

\(\frac{1}{1+u^2}\)

.

En daarna pas breuksplitsen.

Nu dat is persoonlijke smaak. Op mijn manier kom je de afgeleide van argtanh tegen binnenin de integraal.

argtanh is meestal minder gekend als primitieve dus je kunt gerust jouw manier doorzetten als je dit niet wilt gebruiken.

[reinoudb]

@Flisk

Goed om te weten dat ik op het goede spoor zit. Moet even kijken hoe ik achter A en B moet komen. Volgens mij iets van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Ik ga eerst deze manier uitproberen en daarna jouw manier. argtanh is toch een samenstelling van e-macht functies? Ik verwacht namelijk wel dat het uiteindelijke antwoord iets is met een e-macht.

[Flisk]

tanh is een samenstelling van e machten, argtanh is de inverse daarvan. Maar uiteindelijk zal je iets inderdaad iets krijgen met e machten. Als je niet vertrouwd bent met deze functies, doe je best gewoon op jouw manier.

Zo kom je achter A en B:

Tel de twee breuken met A en B die je al hebt op, en zoek dan waarden voor A en B zodat je weer de oorspronkelijke teller krijgt (1 in dit geval). Hier gaat het makkelijk op het zicht. Maar je kan er ook een stelsel van maken met 2 onbekenden en 2 vergelijkingen.