Ik meen nu de spraakverwarring te begrijpen, de uitgangspunten waren niet duidelijk. Zelf denk ik wat laag bij de gronds aan torens zoals gebruikt door Galilei e.a. van 50 tot 75 m hoog. Dan komen de bollen nagenoeg gelijk aan de grond; het verschil is onmeetbaar. Of hun proeven onnauwkeurig waren uitgevoerd is dus maar de vraag en om te zeggen dat ze ongelijk hadden gaat ook wel wat ver.
Anderen zijn wat ruimdenkender en gooien een loden bal en een pingpongbal uit een vliegtuig. De valafstand is veel groter en de pingpongbal bereikt zijn eindsnelheid, waarbij gewicht en luchtwrijving in evenwicht zijn. Ja, dan is de loden bal eerder op de grond.
Het uitschrijven van de krachtenbalans werkt verhelderd.
F
versnelling = F
zwaartekracht - F
weerstand
m.a = m.g - F
w
Het is onhandig om de massa als m te noteren; we schrijven m als ρ
bV,
waarbij ρb de dichtheid en V het volume van de bol is:
ρ
bV dv/dt = ρ
b V g - 1/2 ρ
l v
2 A C
w
De betrekking voor F
w is o.a. te vinden in Wikipedia. ρ
l is de dichtheid van de lucht, ongeveer 1,18 kg/m
3. C
w is de weerstandscoefficient, orde van grootte 0,44.
Het aangestroomde oppervlak van de bol is A. We krijgen nu:
dv/dt = g - 1/2 ρ
l/ρ
bA/V C
w v
2
A/V is voor een bol (π/4)/(π/6) . d2/d3 = 3/(2d), zodat:
dv/dt = g - 3/4 ρl/ρb Cw/d v2 een bekende vergelijking voor een bol in een vallend medium.
De wrijvingskracht (de laatste term) stelt niet zo veel voor als we met metalen bollen werken.
Een paar dichtheden: ijzer 7860 kg/m3, koper 8900 kg/m3, zink 7140 kg/m3, lood 11340 kg/m3. De dichtheid van lucht is maar 1,18 kg/m3, dus de breuk ρl/ρb wordt erg klein. Cw is orde 0,44 maar wordt nog gedeeld door de diameter in m bijv. 0,1 m, dat wordt 4,4. Alleen v2 kan een rol spelen als hij v groot wordt.
Kortom: bij metalen bollen van een toren gooien vindt je geen verschil in valtijd. Neem je een pingpongbal met ρb ongeveer 1000 kg/m3 dan kunnen de valtijden verschillend zijn. Dus gelukkig heeft iedereen (een beetje) gelijk; het is maar welke randvoorwaarden je hanteert.