e^(pi*i) + 1 = 0?

[TD]

Een functie kan inderdaad in-, sur- en bijectief zijn, maar heeft een uniek beeld bij elk argument!

[physicalattraction]

Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

Volgens mij geldt dit in het algemeen wel, ook voor complexe getallen. De stap

\((e^{i \pi})^2 = e^{2 i \pi}\)

is dan ook volkomen legitiem.

[TD]

Als dat voor complexe getallen algemeen geldt, dan zou je kunnen schrijven:

\(e^{2\pi i} = 1 \Rightarrow 1^{2\pi i} = \left( {e^{2\pi i} } \right)^{2\pi i} = e^{ - 4\pi ^2 } \)

Het is wel zo dat de fout in het 'bewijs' van Rov zit in de conclusie exp(a) = exp(b) => a = b, zoals ik verderop zei.

[Phys]

Ik denk dat (z^p)^q = z^(pq) alleen geldt als p en q niet beide complex zijn (dus of p of q is reeel).

[kotje]

\(e^{2\pi\mbox{i}}=1\)

\(\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1\mbox{ of 1=1}\)

\(e^{0i}=\cos0+i\sin0=1\)

[TD]

Dat klopt, maar wat wil je daarmee zeggen?

[kotje]

Ik meen dat dit een antwoord is op de gestelde vraag.

[TD]

De gestelde "vraag" was eigenlijk een poging tot een "bewijs", waarbij iets onmogelijks werd bekomen.

De vraag was, waar zit de fout in de redenering. Wat je schreef klopte, maar zegt niets over de fout.

[kotje]

Ja maar volgens mij had hij in de macht van e 0i en dan overgaan naar formule de Moivre want zo kunt ge bewijzen dat

\(2\pi=4\pi=6\pi=...\)

[TD]

Ja, zelfs zonder de Moivre: gewoon door de exponenten aan elkaar gelijk te stellen - maar dat is natuurlijk fout.

[kotje]

Het valt mij nu in het is niet de formule de Moivre maar van Euler

[A.Square]

Ik laat even tussen door zien waarom i = -1 een slechte definitie is:

i * i = -1 * -1 = (-1*-1) = [wortel]1 = 1

Maar er gold juist i*i=-1, daarom hebben we dat ding.

Dus de aanname is fout: i -1

[TD]

Als je er voorzichtig mee omspringt hoeft het nog niet per se fout te zijn, maar de regel \(\sqrt x \sqrt y = \sqrt {xy} \) gaat niet meer algemeen op.

[PeterPan]

Je kunt niet de wortel uit een negatief getal trekken.

Dat is volstrekte onzin.

De vergelijking

\(x^2 = -1\)

heeft 0 reële oplossingen

heeft 2 complexe oplossingen i en -i

heeft 6 quaternionen oplossingen n.l. i, -i, j, -j, k, -k

heeft 14 oplossingen in octaven

heeft 30 oplossingen in sedenionen

enz.

Het is dus belachelijk te denken dat

\(\sqrt{-1} = i\)

,

want met evenveel recht zou ik kunnen schrijven

\(\sqrt{-1} = j\)

of

\(\sqrt{-1} = k\)

enz.

Er zijn oneindig veel 2x2 matrices A met

\(A^2 = -I\)

Je kunt daar toch niet precies 1 uitkiezen en zeggen voor die A geldt

\(A = \sqrt{-I}\)

[Heezen]

Je kunt niet de wortel uit een negatief getal trekken.

Het is dus belachelijk te denken dat

\(\sqrt{-1} = i\)

,

want met evenveel recht zou ik kunnen schrijven

\(\sqrt{-1} = j\)

of

\(\sqrt{-1} = k\)

enz.

Hoezo belachelijk?

\(i\)

is gedefinieerd als de wortel van -1..

Net zogoed dat 2 gedefinieerd is als 1+1..