De gulden snede

[tempelier]

Voor de geïnteresseerden:
Het begrip laat zich generaliseren.
De eerst volgende staat bekend onder de naam zilveren snede

https://nl.wikipedia.org/wiki/Plastisch_getal

[RedCat]

In aansluiting op tempelier: hier het plaatje van de zonnebloemen van Vincent, volgens

https://youtu.be/sj8Sg8qnjOg

maar nu zowel voor goud, zilver als brons.
De bovenste hebben steeds 1200 punten, de onderste inzoomend op de kern met 240 punten.
In de onderste plaatjes worden
- de drie armen de zilveren ratio verklaard uit de vroege dominantie van de benadering door 4/3
- de 9 armen van brons uit de benadering daarvan door 11/9.

DETAILS:
Plots:

\((x_i, y_i) = (r\cdot i \cdot \cos(2\pi\cdot R \cdot i), r\cdot i \cdot \sin(2\pi\cdot R \cdot i))\)

voor geheeltallige i >= 0 (bovenste plaatjes i = 0 .. 1200, onderste i = 0 .. 240)
R is de gouden, zilveren resp bonzen ratio,
r een constante (bovenste plaatjes: r=0.006, onderste: r=0.03).

Ratios:
x^2 - x - 1 = 0
levert de gouden ratio = 1.6180339887498948482045868343656381177...
continued fraction notatie: [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]

x^3 - x - 1 = 0
levert de zilveren ratio = 1.3247179572447460259609088544780973407...
continued fraction notatie: [1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, 2, 5, 1, 2, ...]

x^4 - x - 1 = 0
levert de bronzen ratio = 1.2207440846057594753616853491088319144...
continued fraction notatie: [1; 4, 1, 1, 7, 1, 3, 1, 11, 14, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, ...]


Convergents:

Goud

Code: Selecteer alles

i:    conv[i]:      conv[i]:        |R-conv[i]|/R:
1     1/1           1.00000000      0.38196601
2     2/1           2.00000000      0.23606798
3     3/2           1.50000000      0.07294902
4     5/3           1.66666667      0.03005665
5     8/5           1.60000000      0.01114562
6     13/8          1.62500000      0.00430523
7     21/13         1.61538462      0.00163740
8     34/21         1.61904762      0.00062646
9     55/34         1.61764706      0.00023914
10    89/55         1.61818182      0.00009136

Zilver

Code: Selecteer alles

i:    conv[i]:      conv[i]:        |R-conv[i]|/R:
1     1/1           1.00000000      0.24512233
2     4/3           1.33333333      0.00650355
3     49/37         1.32432432      0.00029714
4     53/40         1.32500000      0.00021291
5     102/77        1.32467532      0.00003218
6     359/271       1.32472325      0.00000399
7     820/619       1.32471729      0.00000051
8     2819/2128     1.32471805      0.00000007
9     6458/4875     1.32471795      0.00000001
10    28651/21628   1.32471796      0.00000000

Brons

Code: Selecteer alles

i:    conv[i]:      conv[i]:        |R-conv[i]|/R:
1     1/1           1.00000000      0.18082749
2     5/4           1.25000000      0.02396564
3     6/5           1.20000000      0.01699298
4     11/9          1.22222222      0.00121085
5     83/68         1.22058824      0.00012767
6     94/77         1.22077922      0.00002878
7     365/299       1.22073579      0.00000680
8     459/376       1.22074468      0.00000049
9     5414/4435     1.22074408      0.00000000
10    76255/62466   1.22074408      0.00000000

[Professor Puntje]

Mooi!

[OOOVincentOOO]

De gulden snede is het meest irrationele getal. Populair gezegd het meest onvoorspelbare getal. Of: de meeste variatie in decimalen.

In de natuur kan het voordelen hebben deze verhouding te benaderen met energie verdelingen van cellen bijvoorbeeld. Er zijn ook voorbeelden waarde de gulden snede niet aanwezig is.

Misschien kan iemand anders dan ook beter uitleggen waarom de decimalen willekeur van de gulden snede zo bijzonder is. Zonder direct te kritiseren maar functioneel willen meedenken.

Ik kan op internet genoeg informatie (voor mij voldoende) vinden maar ik wil niet eenvoudig een papagaai spelen.

[Professor Puntje]

Ik weet niet of de 'decimalen willekeur' wel zo bijzonder is, in het filmpje gaat het over kettingbreuken en hoe je die kunt gebruiken om rationale benaderingen te vinden voor getallen die als kettingbreuk kunnen worden voorgesteld. De claim is dat de ontwikkeling als kettingbreuk van het gulden getal (allemaal enen) de minste mogelijkheden biedt om een nauwkeurige benadering van het gulden getal door een rationaal getal (= een breuk) te kunnen vinden. Intuïtief kan ik mij daar wel wat bij voorstellen, maar een echt bewijs wordt daarvan in het filmpje niet gegeven.

[OOOVincentOOO]

Hi pp,

Ik heb het niet over het filmpje. Het schijnt te zijn dat de decimalen van GR zelfst als ideale random generator beschouwd kunnen worden.

[Xilvo]

Hi pp,

Ik heb het niet over het filmpje. Het schijnt te zijn dat de decimalen van GR zelfst als ideale random generator beschouwd kunnen worden.

Bij mijn weten geldt dat ook voor een getal als pi, bijvoorbeeld.

[OOOVincentOOO]

Naar wat ik gelezen heb. Is pi ook goed random maar GR schijnt dat meer te zijn.

Ik heb verschillende sites gevonden. Maar onderstaande vind ik bijzonder goed. Ja het is een beetje speels maar inhoudelijk goed en didactisch goed opgebouwd.

http://extremelearning.com.au/going-bey ... omment-821

Ik snap het nog niet allemaal maar de grove lijnen begrijp ik.

[OOOVincentOOO]

De link vorig bericht begint helaas onderaan bericht.

Deze start bovenaan:
http://extremelearning.com.au/going-bey ... den-ratio/

IK besef net dat de decimalen expansie niet ter sprake komt. Maar heeft volgens mij wel met het beschrevene te maken.

[Xilvo]

Naar wat ik gelezen heb. Is pi ook goed random maar GR schijnt dat meer te zijn.

Tot op vandaag heeft geen enkele statistische test op de decimalen van pi een afwijking van 'randomness' aangetoond.
Meer random dan dat is er niet.

[OOOVincentOOO]

Hallo,

Ik moet zo verder met werken.

Je hebt gelijk dat ze dicht aan een ander liggen. Hier voorbeeld voor Pi als betere praktische kandidaat.

https://www.sciencedirect.com/science/a ... 7707002890

Ik heb ook nog wat andere artikels gevonden betreffende GR (maar kan ze nu niet vinden). Maar hoe ik begrijp is GR meer "willekeurig". Anders gezien lijkt GR ook weer praktisch te zijn dat decimalen simpel bepaald kunnen worden.

Het gaat mij niet om een welles nietes maar om verklaringen te vinden en onderbouwen.

[OOOVincentOOO]

ik denk dat ik meest irrationeel verwar met meest random!

[Dr. Andres]

Bedankt voor jullie berichten!!!!