Rationaliteit bij het shoppen. SARP

[tvooc2]

Voor het vak Operationeel Onderzoek moeten we een case oplossen die gaat over de rationaliteit bij het shoppen en hoe sterk een dataset aanleunt bij het Strong Axiom of Revealed Preference (SARP).

De case gaat als volgt:

"Suppose that you do your weekly shopping at the local Delhaize. So, every Saturday morning, you buy a set of goods, denoted by a bundle q. The prices of the available goods are represented by a vector p. Since you do your shopping on Saturday 1, Saturday 2, …, up to Saturday T, we can define a dataset S = { (p_t, q_t)| t=1, 2, …, T}. This dataset reflects your behavior.

The question of interest is whether your shopping reflects a utility function that is rational. To be able to answer such a question, we need to understand, and define what it means to be rational. In the economic scientific literature, rationality is defined using the following concept:

Bundle q_t is directly revealed preferred over bundle q_s when

[indent=1,8]p_t x q_t ≥ p_t x q_s.[/indent]

Notice that the left-hand side of this inequality equals the amount you paid on Saturday t; apparently, this is not less than the price you would have paid when you would have acquired bundle q_s on that Saturday. But since you bought q_t , and not q_s, we say that q_t is directly revealed preferred over bundle q_s.

Now, clearly, given a dataset S, we can find out for each pair of bundles whether one bundle is directly revealed preferred to the other one. Moreover, we can find out whether there exists a ‘cycle’ of revealed preferences: bundle q_a is directly revealed preferred over bundle q_b, which in turn is directly revealed preferred over bundle q_c, which in turn is …. which in turn is directly revealed preferred over bundle q_a. If such a cycle is present in dataset S, we say that S violates the Strong Axiom of Revealed Preference (SARP).

However, in practice a dataset often violates SARP. It is then interesting to compute how ‘close’ a dataset is to satisfying SARP. We measure this by minimizing the number of observations that have to be deleted from S such that the resulting dataset satisfies SARP.

This is our problem: given a dataset S, what is the minimum number of observations that have to be deleted such that S satisfies SARP."

We moeten dit zien op te lossen met een programma als cplex of lindo. We wilden gebruik maken van methoden die grafen bevatten (een beetje branch and bound achtig) maar ik vroeg me af of we dit ook niet gewoon in een maximalisatieprobleem kunnen gieten. Ik ben niet zeker of we daarvoor gewoon onze data kunnen gebruiken, of we misschien nutsfuncties moeten modelleren met onze data.

Heeft iemand een idee?

Alvast bedankt!

[Xenion]

We moeten dit zien op te lossen met een programma als cplex of lindo. We wilden gebruik maken van methoden die grafen bevatten (een beetje branch and bound achtig) maar ik vroeg me af of we dit ook niet gewoon in een maximalisatieprobleem kunnen gieten. Ik ben niet zeker of we daarvoor gewoon onze data kunnen gebruiken, of we misschien nutsfuncties moeten modelleren met onze data.

Je wil het aantal elementen in de dataset maximaal maken onder voorwaarde dat die SARP geldt. Aangezien ik zo direct niet zie hoe dat analytisch uit te drukken is, denk ik dat het niet interessant is om het als maximalisatie probleem te bekijken.

Schrijf anders gewoon een functie die SARP controleert op een bepaalde dataset en dan zoek je breadth first naar de grootste dataset waarop SARP geldig is (telkens 1 verwijderen en SARP controleren).

[tvooc2]

De dataset bevat zo'n 52 observaties. Het lijkt me dus net iets teveel werk om het te proberen door 1 te schrappen. We hadden er al aan gedacht om de observaties als een soort graven te zien en deze in een matrix om te vormen, maar wat we er daarna exact mee moeten doen, is nog wat onduidelijk

[Xenion]

Ik stel ook niet voor om het met de hand te doen.

Breadth-first search werkt volgens een boom. Aan de root heb je de volledige dataset (52 observaties). Als kinderen kies je alle 52 datasets die je kan maken door 1 kind te verwijderen en je controleert of 1 van die oplossingen voldoet. Indien ja, dan heb je de oplossing. Indien niet, ga verder in de boom en bepaal van elk kind de kinderen (datasets van 51 observaties) en controleer die, etc.

Dat is nogmaal gezien erg simpel geïmplementeerd. In dit geval zal dit algoritme steeds de beste oplossing vinden.

[tvooc2]

Dat is inderdaad een zeer goede techniek. We zullen het zeker verder onderzoeken.

Bedankt!