sciencetalk

Ik probeer de bolschilstelling te begrijpen, maar mijn haren gaan recht overeind staan bij een paar aannames die worden gedaan. Ik zit heel vreemd te kijken naar de manier waarop de bolschilstelling de driedimensionale wereld reduceert tot eerst een bolvormig plat vlak (een bolschil), en vervolgens dit bolvormige platte vlak verder reduceert tot een ringvormige lijn (een cirkel). En op die cirkels vervolgens wiskundige formules loslaat, en bij elkaar optelt.
 
ik geef even een link naar wikipedia waar ik de formules gelezen heb:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Bolschilstelling
 
Ik heb zelf de gedachte dat je eerst een bolschil met enige dikte moet begrijpen, voordat je verder mag gaan naar een oneindig dunne bolschil.
 
Ga je zo'n dikke bolschil opdelen in segmenten, dan doe je dat in dit geval door een vorm op het oppervlak te tekenen, bijvoorbeeld een driehoek, of een zeshoek, of een cirkel. Vervolgens maak je dit vormpje driedimensionaal door het te beschouwen als basis van een kegelvorm, de punt van deze kegel bevindt zich precies in het middelpunt van de bol. Maar deze kegelvorm is nu nog te groot, want de bolschil is hol van binnen, dus er moet weer een vormpje van af getrokken worden, ook weer een kegelvorm. Wat je overhoudt is je bolschilsegment. Dit segment loopt dus een beetje taps toe omdat het een kegelsegment is. Dit betekent dat het zwaartepunt van dit segment niet precies halverwege de dikte van het segment ligt, het zwaartepunt ligt iets verder naar buiten, omdat daar iets meer massa zit.
 
Nu vraag ik mij af of de klassieke bolschilstelling wel rekening houdt met dit verschoven zwaartepunt?
 
Ik zal een voorbeeld geven van waar het volgens mij mis gaat. Op wikipedia wordt op een gegeven moment het oppervlak van een ring gelijkgesteld aan (2πRsinθ)*(Rdθ): 'Het infinitesimaal kleine oppervlak van de band dA, is zijn omtrek (2πRsinθ) maal zijn breedte (Rdθ).' Maar ik zet mijn vraagtekens bij deze formule. Volgens mij is het oppervlak van een platte ring uit te rekenenen door een ring te beschouwen als het oppervlak van een grote cirkelschijf minus een kleinere cirkelschijf. Niet door de straal maal de dikte. En deze ring in de bolschilstelling is niet plat maar ruimtelijk. Het oppervlak van de ring en zijn middelpunt bevinden zich niet in hetzelfde vlak, de ring lijkt meer op een segment van een holle kegel. En voor elk ringvormig segment van de bolschil is deze hoek anders. Maakt het dan voor het infinitessimale oppervlak niet uit of de ring plat is of kegelvormig? Ik zie niet dat de bolschilstelling rekening houdt met al deze verschijnselen.
 
Bovenstaande is dus een voorbeeld van het omzetten van de 2-dimensionale bolvorm tot een 1-dimensionale cirkelvorm. Maar ook de manier waarop de bolschilstelling een 3-dimensionale bolvorm omzet tot een een optelsom van 2-dimensionale bolschilvormen begrijp ik niet helemaal. Zoals gezegd vermoed ik dat het misgaat op het moment dat van bijna alle deelvormpjes, dφ, dR, etc, de ‘zwaarpunten’ niet precies halverwege de dikte liggen.
 
Verder wil ik graag opmerken dat in werkelijkheid elk voorwerp met massa bestaat uit een grote verzameling van deeltjes (puntmassa's) en niet uit gelijkmatig verdeelde massa's. Ik kan me wel heel goed een bolschil voorstellen van 1 atoomlaag dik, die gelijkmatig gevuld is met atomen. De zwaartepunten van al deze puntmassa's in zo'n bolschil liggen wel allemaal op een infinitesimaal dunne bolschil, en de massa is hier bij benadering ook wel te beschouwen als gelijkmatig verdeeld over dit oppervlak (het gaat alleen mis als de afmeting van een atoom in de bolschil relatief groot wordt t.o.v. de afstand tot m, ook dan verschuift het zwaartepunt weer). Maar dat is eigenlijk een ander verhaal, dan heb je het niet meer over Newton. Iets voor later

Er is een verschil tussen de manier waarop natuurkundigen en (zuivere) wiskundigen zulke zaken aanpakken. Natuurkundigen zijn nonchalanter, als het maar werkt is het volgens hen goed. En zulke goocheltrucs met infinitesimale vlakjes, hoeken, etc. pakken - zodra je daar wat handigheid in krijgt - meestal ook goed uit.
 
Wens je een rigoureuze behandeling dan zou je een degelijk boek over reële analyse moeten bestuderen. Je zult dan zien dat er veel meer vraagtekens kunnen worden gezet bij de gebruikelijke manier waarop binnen de natuurkunde en techniek met functies, differentialen en integralen wordt omgegaan. Het kan allemaal wel degelijk en netjes maar dat is gigantisch veel werk en alleen bevredigend voor wie graag het naadje van de kous wil weten. - Menigeen zal niet eens begrijpen wat je probleem is...

Bedankt voor de snelle reactie
 

Professor Puntje schreef: Er is een verschil tussen de manier waarop natuurkundigen en (zuivere) wiskundigen zulke zaken aanpakken. Natuurkundigen zijn nonchalanter, als het maar werkt is het volgens hen goed. En zulke goocheltrucs met infinitesimale vlakjes, hoeken, etc. pakken - zodra je daar wat handigheid in krijgt - meestal ook goed uit.
 
Wens je een rigoureuze behandeling dan zou je een degelijk boek over reële analyse moeten bestuderen. Je zult dan zien dat er veel meer vraagtekens kunnen worden gezet bij de gebruikelijke manier waarop binnen de natuurkunde en techniek met functies, differentialen en integralen wordt omgegaan. Het kan allemaal wel degelijk en netjes maar dat is gigantisch veel werk en alleen bevredigend voor wie graag het naadje van de kous wil weten. - Menigeen zal niet eens begrijpen wat je probleem is...

 
Ik ben heel erg bekend met mensen die niet begrijpen waar ik het precies over heb, en die me alleen maar heel vragend aankijken als ik over dit soort dingen begin. Dus ik vind het begrip fijn en ook de literatuurtip. Al begrijp ik waarschijnlijk al dat het niet zo vreselijk veel zin heeft als ik de bolschiltheorie wil zien als beschrijving van de werkelijkheid. Of als een wiskundige waarheid. Hooguit als ik preciezer wil begrijpen waarom en hoe de bolschiltheorie een beetje de mist in gaat. Dank

Einstein zei het al: As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.

@ tuander
 
Ik had vroeger (en soms nu nog!) hetzelfde probleem.
 
Er zijn goede antwoorden op je bedenkingen, maar die vind je alleen in rigoureuze wiskundeboeken. Op zich heel interessant, maar meestal van weinig praktisch belang. (Ook de bolschilstelling kan netjes worden bewezen.) Dus het is uiteindelijk een kwestie van smaak hoe diep je wil graven.

In feite komt de situatie neer op:
 
De Natuurkundige: Ik heb een beschrijving gevonden voor mijn waarnemingen
De wiskundige: Maar je afleiding klopt niet!
De Natuurkundige: Wat klopt er dan niet aan?
De wiskundige: Hij is slordig.
De Natuurkundige: Juist ja. Maar kom ik op een ander antwoord uit doordat ik het slordig doe?
De wiskundige: Nee, dat niet. Maar het had gekund.
De Natuurkundige: Maar zijn de gevallen waarin dat "had gekund" van toepassing in mijn situatie?
De wiskundige: Nee, eigenlijk niet. Maar er zouden situaties kunnen zijn waarin het wel zou hebben gekund.
De Natuurkudige: Noem eens een paar van dit soort situaties:
De wiskundige: als √Ŵ¬Σ¢♦ en Λ×Ø«ξq
De Natuurkudige: OK...
De wiskundige: Dus moet je heel goed opletten!
De Natuurkundige: Ik snap dit niet. Zou je dit kunnen toelichten aan de hand van een praktijkvoorbeeld? Een situatie waarin de natuurkunde tot een verkeerde beschrijving komt omdat er wiskundig gezien slordig wordt gewerkt?
De wiskundige: Eh, nee.

Hier vier papers die vanuit verschillende invalshoeken een bewijs voor o.a. het Shell Theorema van Newton leveren:
 

De derde link werkt via de Wet van Gauss. Van daaruit kom je probleemloos (zonder infinitesimale hoeken, vlakjes, etc.) tot het gravitatieveld voor een bolvormige uniforme massaverdeling. Infinitesimalen zijn overigens niet verboden, maar zonder wiskundige onderbouwing zijn ze niet rigoureus.
 
Het probleem is daarmee teruggebracht tot het wiskundig verantwoord afleiden van de Wet van Gauss uit de gravitatiewet van Newton. Daarvoor moeten twee stappen gezet worden:
 
1. Er moet een versie van de gravitatiewet gevonden worden die ook werkt voor continue massaverdelingen.
 
2. Uit die continue versie van de gravitatiewet moet de Wet van Gauss worden afgeleid.

Dat werken met de wet van Gauss maakt dingen wiskundig gezien zelfs nog ietwat subtieler, omdat je dan met deltafuncties in de gravitatiewet moet gaan werken, en de deltafunctie is voor echte wiskundigen geen heel triviaal object. Vervolgens pas je daar dan ook nog eens de wet van Gauss op toe, maar ja, wie zeg dat dat mag voor zulke distributies (niet functies, distributies).
 
Het rigoureus afleiden van de wet van Gauss (in het geval van bijvoorbeeld C¹-functies, wat dus hier al niet voldoende is) is een behoorlijke exercitie, waarvoor je moet integreren over deelvariëteiten van de Euclidische ruimte, et cetera. Eerder is terecht al opgemerkt dat dit soort dingen voor natuurkundigen niet interessant zijn. Men heeft eigenlijk ook geen keus, want zelfs iets zo 'voor de hand liggend' en veelvoorkomend als bijvoorbeeld een substitutie van bolcoördinaten is veel subtieler dan wat het lijkt (het bijbehorende diffeomorfisme is niet surjectief op R³, maar uiteindelijk maakt het geen klap uit omdat het complement Jordanmaat nul heeft).

Algemene conclusie: het gaat in de praktijk (vrijwel) altijd goed op de manier waarop natuurkundigen en technici de zaak aanpakken, maar er is ook een ingewikkelder rigoureuze manier voor de wiskundige fijnproever.
 
Het is maar net vanuit welk perspectief je de zaak bekijkt. Voor de topic starter is het belangrijk om dat te weten.

Dank voor de aangevoerde papers
 

Michel Uphoff schreef: Hier vier papers die vanuit verschillende invalshoeken een bewijs voor o.a. het Shell Theorema van Newton leveren:
 
shell theorema.pdf
shell theorema 2.pdf
shell theorema 3.pdf
Gravitational fields and shapes.pdf

 
Ik ga ze binnenkort uitgebreider lezen, voorlopig heb ik alleen even snel en oppervlakkig gekeken en kan ik nog niet veel zinnigs zeggen in reactie. Behalve misschien op het shell theorema 3 waar ook Professor Puntje aan refereerde:
 

Professor Puntje schreef: De derde link werkt via de Wet van Gauss. Van daaruit kom je probleemloos (zonder infinitesimale hoeken, vlakjes, etc.) tot het gravitatieveld voor een bolvormige uniforme massaverdeling. Infinitesimalen zijn overigens niet verboden, maar zonder wiskundige onderbouwing zijn ze niet rigoureus.
 
Het probleem is daarmee teruggebracht tot het wiskundig verantwoord afleiden van de Wet van Gauss uit de gravitatiewet van Newton. Daarvoor moeten twee stappen gezet worden:
 
1. Er moet een versie van de gravitatiewet gevonden worden die ook werkt voor continue massaverdelingen.
 
2. Uit die continue versie van de gravitatiewet moet de Wet van Gauss worden afgeleid.

Ik meen dat ik onlangs al iets hierover ben tegengekomen, op dit forum of op een ander forum, omdat ik op zoek was naar informatie over bolschillen. Er staat me iets bij als tegenoverliggende delen van de bolschil die als resultante 0 hadden, ik heb even snel een plaatje getekend. Dan is het geloof ik zo dat de gravitatiekracht van het gele bolschilsegment op het rode puntje precies compenseert voor de gravitatiekracht van het blauwe bolschilsegmentje. Maar ik heb dit nog niet gecontroleerd.
 
Verder moet ik nog even een kleine correctie geven op mijn oorspronkelijke bericht. Het oppervlak van een ring in de bolschil, is natuurlijk een bolsegment en geen kegelsegment zoals ik zelf opperde en ook geen cilindervormig segment zoals de bolschilstelling vereist

Maar goed, de bolschilstelling klopt dus en de Aarde is niet hol.

Ik zou willen dat ik die conclusie ook al kon trekken:
 

Marko schreef: Maar goed, de bolschilstelling klopt dus en de Aarde is niet hol.

 
Ik ben nog niet zo ver. Ik beaam meteen dat de aarde niet hol is en dat je je niet direct zorgen hoeft te maken over eventuele fouten in de bolschilstelling voor een puntmassa binnen de bolschil (misschien is zo'n puntmassa niet werkelijk gewichtsloos). Maar vooral voor massa's buiten de aarde wil je je gravitatietheorie wel op orde hebben. Nu constateer ik dat al jaren bekend is dat Newton tekort schiet in het beschrijven van de banen van planeten. En er zijn veel meer problemen met de zwaartekracht. Dus dan zoek je naart punten waarop Newton verbeterd kan worden, of in ieder geval zou je graag begrijpen op welk punt het mis gaat. En dus zit ik met een scheef oog te kijken naar die verschuivende zwaartepunten van een eindig dikke bolschil ten opzichte van een oneindig dunne bolschil. Maar goed ik ben eigenlijk een leek

Marko schreef: In feite komt de situatie neer op:
 
De Natuurkundige: Ik heb een beschrijving gevonden voor mijn waarnemingen
De wiskundige: Maar je afleiding klopt niet!
De Natuurkundige: Wat klopt er dan niet aan?
De wiskundige: Hij is slordig.
De Natuurkundige: Juist ja. Maar kom ik op een ander antwoord uit doordat ik het slordig doe?
De wiskundige: Nee, dat niet. Maar het had gekund.
De Natuurkundige: Maar zijn de gevallen waarin dat "had gekund" van toepassing in mijn situatie?
De wiskundige: Nee, eigenlijk niet. Maar er zouden situaties kunnen zijn waarin het wel zou hebben gekund.
De Natuurkudige: Noem eens een paar van dit soort situaties:
De wiskundige: als √Ŵ¬Σ¢♦ en Λ×Ø«ξq
De Natuurkudige: OK...
De wiskundige: Dus moet je heel goed opletten!
De Natuurkundige: Ik snap dit niet. Zou je dit kunnen toelichten aan de hand van een praktijkvoorbeeld? Een situatie waarin de natuurkunde tot een verkeerde beschrijving komt omdat er wiskundig gezien slordig wordt gewerkt?
De wiskundige: Eh, nee.

Het is ook een instellingen kwestie.
 
Zo ging er over de (pas onlangs bewezen) dichtste bolstapeling het volgende de ronde:
 
1. Wiskundige vermoeden het.
2. Natuurkundige denken het.
3. Scheikundige weten het zeker.
 
De scheikundige zullen nu wel zeggen: ''Zie je wel, altijd al geweten"

[attachment=22442:verschillende plek van zwaartepunt bolschilsegment.png]
 
Het zwaartepunt (rode stip) voor twee vrij uiterste bolschilsegmenten met dikte 'd' (kleur blauw).
 
Voor een perfect kegelvormige bolschilsegment (links) bevindt het zwaartepunt zich op 3/4 van de afstand tot de punt van de kegel. Dus op 1/4 van de dikte boven het midden van deze bolschil. De bolschil is in deze situatie even dik als de straal van de bol, de lege ruimte binnen de bolschil is 0. een uiterste situatie om het probleem te begrijpen.
 
Voor een heel erg plat, breed en dun bolschilsegment (rechts) bevindt het zwaartepunt zich onder het midden van dikte 'd'. Wel sterk afhankelijk van de positie van de waarnemer/testmassa