Slingerbeweging

[Victor]

Kan iemand eens m'n werkwijze controleren? Het volgend fysisch probleem heb'k proberen vertalen in wiskunde. Maar als'k die uitwerk, dan blijkt de uitkomst niet mogelijk.

slinger 873 keer bekeken

Een blokje van 2 kg (beschouwd als een puntmassa) hangt aan een touwtje, vastgemaakt aan het plafond. Het blokje wordt vastgehouden in punt A. Dan wordt het blokje afgeschoten met een beginsnelheid van 10m/s. Gevraagd is nu de snelheid in punt C. Hou geen rekening met wrijving. Fysisch gezien is dit heel eenvoudig. Antwoord = 10m/s, behoud van energie. Nu wou ik het eens uitrekenen op een andere manier, zonder formules voor energie-inhoud maar met de formules voor valversnelling. En op punt C aangekomen, heeft het blokje een hogere snelheid dan de beginsnelheid, goed fout dus. M'n werkwijze:

v0= beginsnelheid= 10m/s

r= lengte touwtje= 5m

g= valversnelling= 9.81m/s²

m= massa blokje = 2kg

Vooreest, van het punt A naar B:

Beschouw de val van het blokje als een verticale simpele val, met een aangepaste zwaartekrachtconstante g, die afhankelijk is van de hoek alpha. De aangepaste valversnelling wordt: g*cos(alpha) => in punt a is de valversnelling 9.81m/s², in punt B is deze 0m/s². De aangepaste valvergelijkingen worden:

v=v0+g*cos(alpha)*t

r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2

Uit de 2de vergelijking wordt de positieve tijd gesubstitueerd en in de eerste gestopt:

tijd_en_snelheid 863 keer bekeken

Als nu alle getallen worden ingevuld bekomt men:

ingevuld 864 keer bekeken

Nu worden beide leden geïntegreerd, om de kwartslag slingerbeweging na te bootsen, het linkerlid van de beginsnelheid tot de gevraagde snelheid, en het rechterlid van 0° tot 90°:

integraal_1 863 keer bekeken

De gevraagde snelheid in punt B blijkt: 11.82609558m/s

Nu, van het punt B naar C: 2 dingen worden aangepast: de beginsnelheid, en de hoekgrenzen.

De beginsnelheid is nu 11.82609558m/s. Dezelfde hoek alpha wordt gebruikt.

De valversnelling g wordt dus onderaan 0, want cos(90°)=0, en g wordt -9.81m/s² als het blokje zich in punt C bevindt, want cos (180°)=-1. Voor de rest worden dezelfde formules gebruikt, want de tekenomslag ligt in de cos(alpha):

v=v0+g*cos(alpha)*t

r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2

Alles ingevuld en gesubstitueerd naar v:

snelheid_2 863 keer bekeken

Dezelfde integraal wordt gebruikt, maar de hoekgrenzen worden 90° en 180°, en de snelheidsgrenzen vanaf 11.82609558m/s tot de gevraagde snelheid:

integraal2 864 keer bekeken

De gevraagde snelheid in punt C blijkt te zijn: 12.92208244m/s

Normaal zou dit terug 10m/s moeten uitkomen...

Ziet iemand m'n fout?

Erg bedankt!

Victor

[Phys]

Het gaat mis omdat de versnelling die het deeltje ondergaat niet constant is, terwijl jij doet alsof dat wel zo is. Immers, alpha hangt zelf ook van de tijd af! Je kunt dus niet simpel integreren naar de tijd om de snelheid te vinden door alfa als constant te beschouwen. Dus helemaal in het begin van je berekening gaat het mis:

v=v0+g*cos(alpha)*t

Als je dit probleem met Newton oplost, kijk je eerst naar de resulterende kracht. Voor het gemak werken we in poolcoordinaten, (r,phi) (met phi = alpha). Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van

\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)

.We hebben dus de differentiaalvergelijking

\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\)

, met randvoorwaarden

\(\phi(0)=0\)

en

\(\dot\phi(0)=10\)

Deze is denk ik niet analytisch op te lossen, Mathematica heeft er in ieder geval veel moeite mee. Helaas.

De kleine-hoeken-benadering is hier vanzelfsprekend niet toepasbaar (groter kunnen de hoeken niet worden!).

Hier is energiebehoud dan ook de aangewezen methode

[Jan van de Velde]

Deze is denk ik niet analytisch op te lossen,

Dat zal ook inderdaad niet lukken. Ik ben geen groot wiskundige, maar heb deze vraag inmiddels vaak genoeg gesteld en ook voorbij zien komen, en het antwoord is altijd en overal: "Lukt niet".

[Phys]

Ik schreef 'denk ik' omdat Mathematica mij (op voorwaarde dat ik de randcondities wegliet, anders kreeg ik niets) de JacobiAmplitude gaf, de amplitude van de Jacobi elliptische integraal. Nu zijn dit soort 'functies' soms ook alleen maar een andere manier van schrijven van het probleem, zonder een echte oplossing te kunnen geven (behoudens bij bepaalde mooie waarden), maar wellicht is er nog iets mee te doen (benaderen...) door een welwillend persoon.

In ieder geval hoop ik dat ik duidelijk heb kunnen maken waar Victor de mist inging.

[Victor]

Bedankt!

Ja, ik zie de mist rondom me! Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...

Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?

Dankjewel om eens te roepen in die mist!

Nu weet ik ongeveer welke richting te lopen..

Victor

[Jan van de Velde]

Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?

Nee. Maar zelfs in excel kun je het benaderen.

[Phys]

Bedankt!

Graag gedaan

Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...

Op zich is de algemene aanpak vrij eenvoudig: vind de nettokracht op het deeltje, en stel het dan - via de wet van Newton - gelijk aan m*a. Het handigste is om deze vectorvergelijking - kracht en versnelling zijn vectoren - om te zetten in scalaire vergelijkingen: één vergelijking per component.

Dan heb je al direct een (differentiaal)vergelijking voor de versnelling, waaruit je de snelheid en positie kunt halen door te integreren - hetgeen niet altijd even makkelijk expliciet te doen is zoals uit dit probleem blijkt.

[dirkwb]

Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van

\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)

.We hebben dus de differentiaalvergelijking

\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\)

, met randvoorwaarden

\(\phi(0)=0\)

en

\(\dot\phi(0)=10\)

Hoe kom je aan de DV? En mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?

[Phys]

Hoe kom je aan de DV?

Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik heb

\(mg\cos\phi=ma_\phi=m\ddot\phi\)

Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector

\(\hat\phi\)

staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?

En mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?

1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerd

[dirkwb]

Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik heb

\(mg\cos\phi=ma_\phi=m\ddot\phi\)

Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector

\(\hat\phi\)

staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?

\( \sum M_o =I \ddot{ \phi} \rightarrow mgr \cos( \phi) = m r^2 \ddot { \phi } \rightarrow g \cos( \phi) = r \ddot{ \phi}\)

Zie ook hier.

1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerd

\( \phi \)

is in rad/s en v in m/s.

[dirkwb]

\( \phi \)

is in rad/s en v in m/s.

Ter correctie

\( \dot{\phi} \)

in rad/s.

[Victor]

Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van

\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)

.We hebben dus de differentiaalvergelijking

\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\)

, met randvoorwaarden

\(\phi(0)=0\)

en

\(\dot\phi(0)=10\)

Kun je mij nog eens uitleggen...hoe de differentiaalvergelijking wordt opgesteld? Ik ben er echt niet goed in...

Wat ik wel begrijp:

\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)

Dus alles zet je in functie van de hoek, die op zijn beurt afhankelijk is van de tijd? De versnelling vervangen door de 2de afgeleide van de hoek, en de massa geschrapt. Tenslotte leg je 2 randvoorwaarden vast, die vertellen hoe de beginsituatie is, op tijdstip 0; hoek is 0 en snelheid is 10.

Klopt deze werkwijze? Misschien begin ik het te snappen...maar, is er nu nog iets fout met de straal opdat de tweede afgeleide de versnelling zou opleveren? Maakt dirkwb gebruik van de kleine-hoeken-benadering door te stellen dat de hoek vermenigvuldigd met de straal gelijk is aan de afgelegde weg op de cirkelbaan?

[Phys]

I stand corrected. Bedankt, dirkwb! En excuses aan Victor voor de veroorzaakte verwarring, geen wonder dat je mijn methode niet begrijpt: ze klopt niet! De fout in mijn uitwerking zat hem hierin: ik stelde

\(a_\phi=\ddot{\phi}\)

. Ik had echter de versnelling in poolcoordinaten moeten uitschrijven:

\(a_\phi=R\ddot{\phi}+2\dot{R}\dot{\phi}\)

, en bij constante straal - zoals hier - krijg je dus

\(a_\phi=R\ddot{\phi}\)

. Dat scheelt een factor R, en dat is precies de factor die ik miste.

Ik denk dat de link van dirkwb alles uitlegt. Lees die maar eens door, daar staat een uitgebreide uitwerking (op verschillende manieren).

Ik dacht nog: zal ik eens kijken wat eruit komt met Langrange-Hamilton, dat had ik dus moeten doen. Voor de geïnteresseerden:

Verborgen inhoud

snelheid in poolcoordinaten:

\(\mathbf{v}=\dot{r}\mathbf{e_r}+r\dot\theta\mathbf{e_\theta}\)

Maar de straal r is constant, dus noem deze R, en

\(\dot{r}=0\)

.

Kinetische energie wordt gegeven door

\(K=\frac{m}{2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\frac{m}{2}R^2\dot\theta^2\)

Potentiële energie:

\(V=mgh=mgR\cos\theta\)

Dus de Lagrangiaan wordt

\(L=K-V=\frac{m}{2}R^2\dot\theta^2-mgR\cos\theta\)

De bewegingsvergelijking wordt dus

\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\)

oftewel

\(\frac{d}{dt}\left(mR^2\dot\theta\right)-mgR\sin\theta=0\)

Dus

\(mR^2\ddot{\theta}=mgR\sin\theta\)

waaruit volgt

\(\ddot\theta=\frac{g}{R}\sin\theta\)

\(\theta\)

is nu dus de hoek zoals aangegeven op de tekening van de link; gelijk aan pi/2-alfa.

Randvoorwaarden zijn

\(\theta(0)=\frac{\pi}{2}\)

en

\(\dot\theta(0)=\frac{10}{R}\)