Professor Puntje schreef: ↑zo 01 feb 2026, 12:06 Enerzijds leuk, want we zaten op de goede weg!

Anderzijds jammer - want ook de knappe koppen zijn er al weer mee bezig. Zo valt er voor ons als amateurs weinig eer meer aan te behalen.

Inderdaad, maar voor mij is het ontspanning, je maakt een ontdekkings reis, en geeft allerlei inzichten.

En leer tegelijk eens met AI te spelen, ook al moet je niet alles zo maar geloven.
maar het op zoeken van zaken ermee gaat wel als een trein.

Zo kan ik nu ook het andere poging tot bewijs op dit forum beter volgen met AI, AI geeft ook meer uitleg erbij,
ook waar het fout gaat lopen, eigenlijk zelfde probleem als waar wij tegen aan lopen. Dat is blijkbaar (nu nog) ook universeel.

Enerzijds leuk, want we zaten op de goede weg!

Anderzijds jammer - want ook de knappe koppen zijn er al weer mee bezig. Zo valt er voor ons als amateurs weinig eer meer aan te behalen.

AI formuleert het als volgt:


\(T_{n}=\frac{3^{k}}{2^{n}}T_{0}+\sum _{i=0}^{k-1}\frac{3^{k-1-i}}{2^{n_{i}}}\)

AI lijkt op de zelfde conclusie te komen:

1. Afhankelijkheid van het "pad":

De variabele \(\mathcal{R}(T_{0},n)\) is direct afhankelijk van de volgorde van even en oneven stappen die \(T_{0}\) doorloopt gedurende de \(n\) iteraties.
Voor een specifieke \(T_{0}\) ligt dit pad vast, waardoor \(\mathcal{R}\) een functie is van de beginwaarde.
Structuur van \(\mathcal{R}\): De restterm \(\mathcal{R}\) is een som van machten van 3 gedeeld door machten van 2.

2. Onderzoek van onder andere Terras (1976) en Lagarias (1985) toont aan dat voor een vaste reeks operaties (het "encoding path") de waarde van \(\mathcal{R}\) constant is voor alle \(T_{0}\) die datzelfde pad volgen.Diophantische benadering:

Recent onderzoek richt zich op hoe \(\mathcal{R}\) zich verhoudt tot de fractale structuur van de Collatz-boom.
Wiskundigen zoals Terence Tao hebben in 2019 aangetoond dat voor "bijna alle" beginwaarden de waarde van \(T_{n}\) uiteindelijk veel kleiner wordt dan \(T_{0}\), waarbij de eigenschappen van de restterm een cruciale rol spelen in de probabilistische bewijsvoering. 

Conclusie: Hoewel \(\mathcal{R}\) voor een specifiek patroon van stappen constant is, bepaalt de keuze van \(T_{0}\) welk patroon wordt gevolgd. Daarom is \(\mathcal{R}\) inherent verbonden met \(T_{0}\) en de lengte van de reeks \(n\). 

WillemB schreef: ↑zo 01 feb 2026, 10:28

Professor Puntje schreef: ↑zo 01 feb 2026, 09:58 Het mooie hiervan is dat de "restgetallen" als in mijn plaatje geïllustreerd, al kunnen worden berekend zonder dat er een T₀ gegeven is.

Dat klopt , je zou er een tabel van kunnen maken, want er komt geen T_(o,n) bij aan te pas
lijkt dus universeel

Dat bedoel ik - die restgetallen zijn onafhankelijk van het Collatz-vermoeden te bestuderen. En daar zullen dan hoogstwaarschijnlijk ook allerlei fraaie relaties voor gelden. Zo kunnen we in ieder geval weer even verder met het onderzoek.

Wel vraag ik mij nog af of die restgetallen niet al lang en breed binnen de wiskunde bekend zijn, ik vermoed van wel eigenlijk. Maar als dat niet het geval mocht zijn stel ik voor ze willem-getallen te noemen, zodat die beestjes een duidelijke eigen naam hebben. - Wat vindt AI daarvan?

Professor Puntje schreef: ↑zo 01 feb 2026, 09:58 Het mooie hiervan is dat de "restgetallen" als in mijn plaatje geïllustreerd, al kunnen worden berekend zonder dat er een T₀ gegeven is.

Dat klopt , je zou er een tabel van kunnen maken, want er komt geen T_(o,n) bij aan te pas
lijkt dus universeel

Ik weet niet of we aan het volgende wat hebben,

maar in het voorbeeld is 451, eigenlijk 3^a-1 + rest

dus de teller zou ook geschreven kunnen worden als 3^a. T₀ + 3^a-1 + rest

de grootte van rest getal in dit voorbeeld is dus mede afhankelijk van de laatste (3x+1)/2 sommatie met 2^c

Het mooie hiervan is dat de "restgetallen" als in mijn plaatje geïllustreerd, al kunnen worden berekend zonder dat er een T₀ gegeven is.

Professor Puntje schreef: ↑za 31 jan 2026, 21:14

Dit verdient nog een aanvulling want \( \mathcal{G}(T_0,0) \) is zo nog niet gedefinieerd, daarvoor nemen we:

\( \mathcal{G}(T_0,0) = 0 \)

Om dan met onze algemene formule T₀ = T₀ te krijgen moet ook:

\( \mathcal{R}(T_0,0) = 0 \)

Dat klopt, omdat bij de start van een reeks, er nog geen +1 is voorgekomen,
het is tenslotte, de sommatie van alle +1, teller begint pas te lopen bij de eerste keer (3x+1).

Voorbeeld even het getal 15, omdat deze met 4 maal oneven begint, \( \mathcal{R}(T_0,n) \)

0 - 1 - 5 - 19 - 65 - verder op wordt het 195 en eindelijk 451

ter aanvulling voor dit voorbeeld, uiteindelijk wordt het, onder de streep, 2¹² en boven 3⁵ + 451

Het grote moment is daar!! De ontdekking van de Willem-getallen :

Professor Puntje schreef: ↑za 31 jan 2026, 12:01 \( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{G}(T_0,n) } }{ 2^n } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{R}(T_0,n) \)

Voor \( \mathcal{G}(T_0,n) \) neem ik het aantal oneven termen in de deelrij: T₀, T₁, T₂, ... , T_n-1 .

Maar wat is dan \( \mathcal{R}(T_0,n) \) ?

Dit verdient nog een aanvulling want \( \mathcal{G}(T_0,0) \) is zo nog niet gedefinieerd, daarvoor nemen we:

\( \mathcal{G}(T_0,0) = 0 \)

Om dan met onze algemene formule T₀ = T₀ te krijgen moet ook:

\( \mathcal{R}(T_0,0) = 0 \)

Dat quasi-random karakter blijft een probleem maar ik hoop dat we zo een handelbaarder uitdrukking krijgen.

De fractionele som-notatie,

ik heb er toen ook naar de sommatie gekeken, de formule is juist,
maar liep vast op het random karakter van de plus 1 optelling,
afhankelijk van T_(0,n) kreeg je 2^c (als 1) erbij in de sommatie.
Dat was niet te voorspellen.

Voorbeelden:

\( \frac{ \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} }{2} = \frac{3^5}{2^7} + \frac{3^0}{2^2} \)


\( \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) \, + \, 1 }{2} = \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) }{2} \, + \, \frac{1}{2} \)

\( \frac{ 3 \cdot ( \frac{3^5}{2^6} + \frac{3^0}{2^1} ) \, + \, 1 }{2} = \frac{3^6}{2^7} + \frac{3^1}{2^2} \, + \, \frac{3^0}{2^1} \)

Noem de som van een eindig rijtje termen van de vorm \( \frac{3^i}{2^j} \) voor \( i,j \in \mathbb{N}_o \) geschikt. Dan zien we dat de operaties x/2 en (3x+1)/2 die de verkorte Collatz-rij genereren wanneer toegepast op een geschikte som steeds opnieuw een geschikte som opleveren.