Berekening aan het verwerken: 0%
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 124
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Op basis van de formule van x^n als functie van combinaties (zie oude Topic) leide ik ook een andere uitdrukking af voor x^n.
Helaas ook in een oude notatie.... zie bijlage.

1. Is deze formule juist ?
2. Hoe ziet hij er uit in Latex ?
Bijlagen
DSC07969
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 515
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

We hadden

\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!

Haal de eerste term van de sommatie (waarvoor i=0) naar buiten:

x^n + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n = n!

waardoor

x^n = n! - \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n

ofwel

x^n = n! + \displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}(x-i)^n


Voorbeeld:

5^3 = 3! + \binom{3}{1}\cdot 4^3 - \binom{3}{2}\cdot 3^3 + \binom{3}{3}\cdot 2^3
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 124
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Aan RedCat,

Dank U.
De afleiding die U maakte is evident, baserende op een vorige formule voor n!

Maar de uitdrukking op mijn bijgevoegde foto is heelwat anders.
Vandaar misschien, met respect ...... nog eens de twee vragen in mijn topic te willen lezen en mogelijks reactie op te geven.
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 515
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Ik lees in de foto:

x^n = \binom{n}{1}\cdot (x-1)^n - \binom{n}{2}\cdot (x-2)^n + \binom{n}{3}\cdot (x-3)^n - ... \pm \binom{n}{n}\cdot (x-n)^n

In de eerste term rechts is het verschil tussen x en n heel duidelijk, in de latere termen kan ik het x,n-onderscheid steeds moeilijker maken. De nul in de laatste term op de foto geldt alleen als x=n.
Wellicht bedoelt u iets anders?
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 124
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Aan RedCat,

Dank U.
De indices onder de C moeten allemaal "x" zijn natuurlijk.
Mea Culpa !

Dan blijven dezelfde 2 vragen bestaan in mijn Topic
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 515
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

We willen dus aantonen:

x^n = \displaystyle \sum_{i=1}^x(-1)^{i-1}\binom{x}{i}(x-i)^n

ofwel

x^n + \displaystyle \sum_{i=1}^x(-1)^i\binom{x}{i}(x-i)^n = 0

ofwel

\displaystyle \sum_{i=0}^x(-1)^i\binom{x}{i}(x-i)^n = 0

Vanuit de combinatoriek weten we:

\displaystyle \sum_{i=0}^x(-1)^i\binom{x}{i}(x-i)^n = x! \cdot \begin{Bmatrix}n\\x\end{Bmatrix}

Dit laatste is nul voor x > n, dus voor x > n klopt uw formule.


Terzijde: als x=n dan is S(n,x)=1, en krijgen we

\displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(n-i)^n = n!

wat we ook al eerder hadden gevonden.
RedCat
Artikelen: 0
Berichten: 515
Lid geworden op: zo 21 jul 2019, 16:38

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Nog even dit: de algemenere formule is dus:

\displaystyle x^n= x! \cdot \begin{Bmatrix}n\\x\end{Bmatrix}+\sum_{i=1}^x(-1)^{i-1}\binom{x}{i}(x-i)^n


Voorbeelden:

(1) Voor x=4 en n=9 met S(9,4)=7770 krijgen we zo:

\displaystyle 4^9= 4! \cdot \begin{Bmatrix}9\\4\end{Bmatrix}+ \binom{4}{1}(4-1)^9 - \binom{4}{2}(4-2)^9 + \binom{4}{3}(4-3)^9 - \binom{4}{4}(4-4)^9

= 4! \cdot 7770+ \binom{4}{1}\cdot 3^9 - \binom{4}{2}\cdot 2^9 + \binom{4}{3}\cdot 1^9


(2) en voor x=4 en n=3 met S(3,4)=0:

\displaystyle 4^3= 4! \cdot \begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}+ \binom{4}{1}(4-1)^3 - \binom{4}{2}(4-2)^3 + \binom{4}{3}(4-3)^3 - \binom{4}{4}(4-4)^3

= \binom{4}{1}\cdot 3^3 - \binom{4}{2}\cdot 2^3 + \binom{4}{3}\cdot 1^3
Regor
Artikelen: 0
Berichten: 124
Lid geworden op: zo 15 dec 2024, 18:24

Re: x^n als functie van Combinaties, een alternatief.

Aan RedCat,

Dank U.

Nu zijn (helaas) de rariteiten voor x^n en n! en dergelijke ....die ik vond met "oude" wiskunde uitgeput.

Wat mij blijft verwonderen is dat ik ze allemaal vond / men ze allemaal kan vinden door de eenvoudige vaststelling
dat de " OPEENVOLGENDE VERSCHILLEN VAN DE VERSCHILLEN VAN DE VERSCHILLEN enz .... van een "n de macht"
IN DE VOORLAATSTE STAP...... "n! " ZIJN, EN IN DE LAATSTE STAP .... "0" ZIJN.

Nogmaals bedankt.

Terug naar “Wiskunde”