vereniging/doorsnede van oneindig veel verzamelingen

[Shadow]

Hoi!
 
Ik hóóp dat ik deze vraag nooit eerder heb gesteld. Het is alweer een tijdje geleden dat ik hiermee bezig was.
 
Het gaat over [zie titel].
 
Nu wilde ik de theorie onder de knie krijgen door wat opgaven te oefenen, maar bij de wat abstractere waren geen opgaven gegeven... dus zou iemand mij kunnen helpen met 7? (Ik heb wel opg. 6 wel kunnen doen.)
 

Vereniging en doorsnede van oneindig veel verzamelingen, opgaven 891 keer bekeken

 
Dit was trouwens de theorie die erbij hoorde:
 

Vereniging en doorsnede van oneindig veel verzamelingen 891 keer bekeken

 
Zo op gevoel denk ik dat de doorsnede een lege verzameling is... en de vereniging is dan (0,->), maar dit is pure intuïtie! Kan iemand illustreren wat de eerste stap is die je zet?

[JorisL]

Kijk even naar de eerste A_n, eventueel in de gebruikelijke notatie met intervallen als dat eenvoudiger is.
Als je intuitief gezien hebt wat de doorsnede en unie zouden moeten zijn kan je het eenvoudig bewijzen.
 
Voor de doorsnede kan je de vraag anders verwoorden.
Wat is het maximale (halfopen) interval \(I = [a,b[\) zodat \(\forall n\in\mathbb{N}, I\subset A_n\).
 
Kan je hiermee nu verder?

[Math-E-Mad-X]

Kun je een getal noemen dat in elke An zit?
 
Kun je een getal noemen dat in geen enkele An zit?

[Shadow]

Hoi!
 
Ik maak er dit dan van... Moet nog even wennen aan het formeel opschijven van zaken.
 
 

[EvilBro]

Let op: bekijk even of bij jullie de natuurlijke getallen laten beginnen bij 0 of bij 1. Je hebt gekozen voor 0, dus ik doe dat ook.

\(B = \cap_{n \in \nn} A_n\)

In woorden: x zit in B als x in alle

\(A_n\)

zit.

Voor de ondergrens

\(o(A_n)\)

geldt:

\(n < m \rightarrow o(A_n) > o(A_m)\)

Je wilt de hoogste ondergrens vinden, dus moet je het kleinste natuurlijke getal hebben.

\(\frac{1}{2^0} = 1\)

1 is de kleinste waarde die in alle

\(A_n\)

zit.

Voor de bovengrens

\(b(A_n)\)

geldt:

\(n < m \rightarrow b(A_n) > b(A_m)\)

Je wilt de laagste bovengrens vinden, dus moet je het grootste natuurlijke getal hebben. Er bestaat geen grootste natuurlijke getal, dus je moet de limiet bekijken:

\(\lim_{n\rightarrow \infty} 2 + \frac{1}{2^n} = 2\)

Zit 2 in alle

\(A_n\)

? Voor elk natuurlijk getal is de bovengrens groter dan 2, dus 2 zit in alle

\(A_n\)

.

Voor de doorsnede geldt dus:

\(1 \leq x \leq 2\)

Probeer nu zelf:

\(C = \cup_{n \in \nn} A_n\)

In woorden: x zit in C als x in ten minste 1

\(A_n\)

zit.

[Erik Leppen]

Merk op dat EvilBro theorie gebruikt die hij niet zonder meer bekend kan veronderstellen. Hoogste ondergrenzen en zo zijn leuk voor de geoefende wiskundige, maar volgens mij maken ze het hier eerder ingewikkelder dan simpeler.
Ten tweede geeft hij je het antwoord op de helft van je vraag, terwijl ik het zelf leerrijker vind als je het antwoord zelf zou ontdekken met wat hulp van ons.

Hoe dan ook.

Dit soort vragen bevat vaak impliciet twee delen.

• wat is het antwoord?
• waarom is dit antwoord correct?

Oftwel, eerst zul je moeten achterhalen op wèlke verzameling je überhaupt gaat uitkomen. Dit is een inzichtvraag, en wat je nodig hebt is intuïtie voor de termen in de vraag. Wat is een doorsnede of een vereniging, en wat zijn de

\(A_n\)

in de vraag. Pas als je dat weet, kun je dit gaan bewijzen. Dat is een technische vraag en daarvoor heb je de exacte definities nodig die in het tekstboek staan.

Om de eerste vraag te beantwoorden heb je wat intuïtie nodig voor de gegevens. Er wordt een rij verzamelingen

\(A_n\)

gedefinieerd. Hoe zien al die verzamelingen eruit? Enig idee?

• Wat is
  \(A_0\)
  ?
• Wat is
  \(A_1\)
  ?
• Wat is
  \(A_2\)
  ?
• Wat is
  \(A_3\)
  ?
• (etc.)
• Wat is de regelmaat?

Bij de laatste vraag kan het heel erg helpen om dingen visueel te maken. Kun je de verzamelingen "tekenen" in een vorm die misschien inzicht biedt? Hoe zou je dat kunnen doen?

Dan de doorsnede en vereniging. Heb je intuïtie voor wat dat zijn?

Een plaatje als dit heb je vast vaker gezien:

De doorsnede is het gemeenschappelijke gebied.
De vereniging is het totale overdekte gebied.
De intuïtieve definities gelden ook voor de doorsnede of vereniging van oneindig veel verzamelingen.

Als je je verzamelingen handig kunt tekenen, is veel sneller duidelijk wat de doorsnede en vereniging waarschijnlijk zullen zijn. Voor de duidelijkheid: dat helpt je alleen bij de vraag "wat is het antwoord". Voor de vraag "waarom is dit antwoord juist" heb je nog altijd de formele definities uit je tekstboek nodig.

[Shadow]

EvilBro, waarom schrijf je op:
 
n<m?
 
En niet: n>=m?
 
Ik neem aan dat n een willekeurige n is, waarvoor geldt dat die, als het gaat om hoogste ondergrens, hoger is of gelijk aan elke andere m in N. Tenminste, dit is hoe ik het interpreteer? Ik heb het ook even uitgeschreven (bovenaan in de bijlage).
 

oneindige verzamelingen 893 keer bekeken

 
Enfin, ik heb ook de vereniging even uitgewerkt.
 
En ik vind onder- en bovengrenzen best handig! Het maakt het juist makkelijker:)
 
En trouwens, bedankt Erik voor je uitgebreide bericht. En om nog even antwoord te geven op de vragen die je stelde:
 
A(0) is de verzameling/het interval [1,3]. Wat er vervolgens gebeurt is dat de ondergrens steeds kleiner wordt naarmate n toeneemt, evenals de bovengrens. De ondergrens wordt steeds een half keer zo groot bij per n, terwijl van de bovengrens de '1/2ⁿ' een half keer zo groot wordt per n.
 
En wat betreft visualiseren ging ik in principe niet verder dan het plaatje dat jij toonde. Ik visualiseer het me vooral gewoon op een getallenlijn met de laagste/hoogse boven- en ondergrens.

[EvilBro]

EvilBro, waarom schrijf je op:
 
n<m?
 
En niet: n>=m?

De keus was redelijk willekeurig. Het ging er om om het gedrag goed vast te stellen: Als n kleiner is dan m dan geldt dat de ondergrens bij n groter is dan de ondergrens bij m. Dit is equivalent met:

\(n > m \rightarrow o(A_n) < o(A_m)\)

Je kan natuurlijk ook beginnen met de ondergrens en dat zeggen wat dan geldt voor n en m. Uiteindelijk komt het allemaal op hetzelfde neer.