Waaraan is f(x)dx gelijk?

[AdvanderVen]

Stel ik heb f(x) = x². Hoe ziet dan f(x)dx eruit?

[tempelier]

Stel ik heb f(x) = x². Hoe ziet dan f(x)dx eruit?

x²dx

[TD]

Wat is de context van je vraag?

[AdvanderVen]

Als
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
en
$$
f_\alpha(x) = \frac{\alpha}{(x+1)^{\alpha+1}}
$$
Dan kun je als volgt f van g krijgen,
$$
f_1(x)dx = \frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
waarbi de substitutie $$x = \lambda\tilde{x}$$ is gebruikt. Maar ik begrijp de gelijkheden niet.

[TD]

Welke begrijp je niet? In de ketting van drie is de eerste gewoon de definitie van f gebruiken en de laatste die van g gebruiken. Voor de middelste, gebruik de gegeven substitutie \(x = \lambda\tilde{x}\) en er volgt:

\(\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{1}{(\lambda\tilde{x}+1)^2}d\left(\lambda\tilde{x}\right) = \frac{\lambda}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} d\tilde{x}\)

omdat \(d\left(\lambda\tilde{x}\right)=\lambda d\tilde{x}\).

[AdvanderVen]

In de ketting van de drie
$$
\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
begrijp ik de overgang van de eerste naar de tweede. Het is een kwestie van substitutie. In de overgang van de tweede naar de derde begrijp ik het nu ook vanwege de regel die je me gegeven hebt en die ik me niet realizeerde.

Nu zijn
$$f(x) = \frac{\alpha}{((x+1)^{\alpha+1})}$$
en
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
kansdichtheidsfuncties en je kunt dus f(x) krijgen door g(x) te herschalen. Nu is f(x) een speciaal geval van een Pareto verdeling, Blijft het dan ook interessant om g(x) als een aparte verdeling te beschouwen? Het is net zoiets als bij de logistische verdeling en de log-logistische verdeling. De éne is een herscahling van de ander, maar toch worden beide verdelingen als aparte verdelingen beschouwd.

[AdvanderVen]

Dankzij uw hulp heb ik inmiddels ontdekt dat de dichtheidsfunctie
$$
\frac{\lambda}{(\lambda x + 1)^2}
$$
verkregen kan worden middels een Pareto Type II verdeling

https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution

oftewel Lomax verdeling:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lomax_distribution

De Lomax verdeling heeft als dichtheidsfunctie
$$
\frac{\alpha}{\lambda}\frac{1}{(1+\frac{x}{\lambda})^{\alpha+1}}
$$
Voor $$\alpha = 1$$ en $$\lambda = 1$$ krijg je
$$\frac{1}{(1+x)^2}$$
en als je dan x herschaalt met $$\lambda x$$ krijg je de gevraagde verdeling.