Ik zal laten zien hoe je dit kunt vinden op een 'hands on' manier, dus zonder veel voorkennis van homogene coördinaten, partiële afgeleiden en eigenwaarden- en vectoren.
eerst zullen we de noemers al wegwerken:
234x2+106y2+96xy−520x−940y−2350=0(1)
Het idee is om een verschuiving en daarna een rotatie van het assenstelsel toe te passen, zodanig dat de nieuwe vergelijking de vorm x²/a²+y²/b²=1 wordt.
Eerst de verschuiving. We willen een verschuiving van het assenstelsel zodanig dat de x-term en y-term in (1) wegvalt. Daartoe verschuiven we (0,0) naar het voorlopig onbekende punt (r,s):
{x=x′+ry=y′+s(∗)
Ingevuld in vergelijking (1) geeft:
234r2+96rs+468rx+96ry−520r+106s2+96sx+212sy−940s
+234x2+96xy−520x+106y2−940y−2350=0(2)
We willen geen lineaire term, dus we stellen:
{468r+96s−520=096r+212s−940=0
Dit stelsel heeft als oplossing r=2/9 en s=13/3. Als we deze r en s invullen in vergelijking (2), krijgen we:
234x′2+106y′2+96x′y′−40000/9=0(3)
Nu willen we nog de term in x'y' wegwerken. Dit doen we door het (x',y')-assenstelsel te roteren over een voorlopig onbekende hoek θ:
\{\begin{array}{ccc}x' & = & cosθ\cdot x''-sinθ\cdot y'' \\ y'& = & sinθ\cdot x''+cosθ\cdot y''\end{array}\qquad (**)
De vergelijking wordt:
(234\cos^2\theta+106\sin^2\theta+96\cos\theta\sin\theta)x''+(234\sin^2\theta+106\cos^2\theta-96\sin\theta\cos\theta)y''
+(-234\cdot2\cos\theta\sin\theta+106\cdot2\sin\theta\cos\theta+96(\cos^2\theta-\sin^2\theta))x''y''-\frac{40000}{9}=0 \qquad (4)
De term in x"y" moet wegvallen, dus stellen we
-128\cdot2\cos\theta\sin\theta+106\cdot2\sin\theta\cos\theta+96(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0
We weten uit goniometrie
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\qquad\qquad \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta
Dus kunnen we de voorwaarde herschrijven als
-128\sin2\theta+96\cos2\theta=0\Leftrightarrow-4\sin2\theta+3\cos2\theta=0
Hieruit is het niet moeilijk om θ te berekenen met een rekenmachine, maar we willen graag exacte waarden, dus moeten we nog wat meer pijn lijden. We vervangen sin 2θ en cos 2θ door een uitdrukking in tan θ (m.b.v. de 't-formules')
-4\cdot\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}+3\cdot\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=0
\Leftrightarrow -8\tan\theta+3(1-\tan^2\theta)=0\Leftrightarrow 3\tan^2\theta+8\tan\theta-3=0
Deze vierkantsvergelijking heeft discriminant 100 en als oplossingen voor tan θ:
\tan\theta=\frac{-8\pm10}{6}=-3 ~\textrm{of} ~\frac{1}{3}
Kies nu (bijvoorbeeld) de θ uit het vierde kwadrant met tangens -3. Visueel gaan we nu het assenstelsel roteren over een hoek Bgtan(-3). Uit de tangens bereken we (met de grondformule) nog de sin en de cos, terwijl we wat betreft de tekens rekening houden met het feit dat we θ in het vierde kwadrant gekozen hebben.
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\qquad \sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}=-\frac{3}{\sqrt{10}}
Als we deze waarden invullen in vergelijking (4), vinden we:
90x''^2+250y''^2-\frac{40000}{9}=0\Leftrightarrow\frac{x''^2}{(\frac{20\sqrt{10}}{9})^2}+\frac{y''^2}{(\frac{4\sqrt{10}}{3})^2}=1
We hebben dus in dit (x",y")-assenstelsel een ellips die als assen de coördinaatassen heeft, met halve lange as a=20√10/9 en halve korte as b=4√10/3. De parameter voorstelling van deze ellips in dit coördinatenstelsel is:
\{\begin{array}{ccc}x'' & = &\frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t \\ y''& = & \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t\end{array}
Als we dit invullen in (**), bekomen we
\{\begin{array}{cccc}x' & = & \cos\theta\cdot\frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t -\sin\theta\cdot \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t &= \frac{20}{9}\cos t+4\sin t\\ y'& = & \sin\theta\cdot \frac{20\sqrt{10}}{9}\cos t+\cos\theta\cdot \frac{4\sqrt{10}}{3}\sin t & =-\frac{20}{3}\cos t+\frac{4}{3}\sin t\end{array}
Vullen we dit tenslotte nog in in (*):
\{\begin{array}{ccc}x & = &= \frac{20}{9}\cos t+4\sin t+\frac{2}{9}\\ y& = &-\frac{20}{3}\cos t+\frac{4}{3}\sin t+\frac{13}{3}\end{array}
Als je nu nog precies hetzelfde vergelijkingen wil bekomen, moet je nog een substitutie
t=t'+90°
doen. Dan wordt sin t=cos t' en cos t=-sin t'. Als we een andere mogelijkheid voor θ hadden gekozen (in het 1ste kwadrant), was dit ineens op jouw versie uitgekomen.