Conclusie van het "twee pieken experiment"

[wnvl1]

Verwarrend is dat in de integraal van mathpages, je inderdaad moet integrerren van - oneindig tot + oneindig en in die van OOOVincentOOO niet. Maar dat is dus zo.

[Professor Puntje]

Kun je mij dan uitleggen wat de aanpak van OOOVincentOOO bijdraagt aan het onderzoek naar het aantal pieken in de grafiek van lichtdeeltjes die rakelings langs de zon scheren? Waarom zou je nog bekijken wat licht in de buurt van de schwarzschildradius doet, als je je simulatie ook direct op licht kunt toepassen dat rakelings langs de zon scheert? Wat voegt dat toe?

[wnvl1]

Er blijft dus wel een verschil. In de berekening van Mathpages heb je altijd die 2 pieken en in die van OOOVincentOOO niet.
Kan het zijn dat je

x=r*cos phi
y=r*sin, phi

in de aanpak van OOOVincentOOO niet mag doen? Je integraal levert wel dezelfde totale deflectie op, maar de ogenblikkelijke deflectie gaat anders zijn. De aanpak van Mathpages is op dat vlak iets anders, lijkt mij.

[Professor Puntje]

Ik moet nu hoog nodig naar bed. En morgenochtend heb ik ook geen tijd. Later verder...

[wnvl1]

Kun je mij dan uitleggen wat de aanpak van OOOVincentOOO bijdraagt aan het onderzoek naar het aantal pieken in de grafiek van lichtdeeltjes die rakelings langs de zon scheren? Waarom zou je nog bekijken wat licht in de buurt van de schwarzschildradius doet, als je je simulatie ook direct op licht kunt toepassen dat rakelings langs de zon scheert? Wat voegt dat toe?

Het inzicht komt ook maar bij mij door er langer over te denken.

Voor grote waarden van R is er een verschil tussen mathpages (Einstein) en OOOVincentOOO. OOOVincentOOO ziet de pieken ontstaan voor kleine waarden van R. Einstein heeft ze altijd.

OOOVincentOOO kan dus de pieken niet verklaren bij grote R die Einstein wel heeft.

Ik denk dat de opmerking in mijn vorige post relevant kan zijn.

[Gast]

(Ik zou hier eigenlijk niet meer reageren, want tis voor mij wel duidelijk. Alleen ik vind het zo opmerkelijk dat je die pieken werkelijk nergens terug ziet komen. .. Ook niet in Einsteins papieren.)

[OOOVincentOOO]

Hier is mijn beste toelichting wat ik geven kan met mijn kennis:

1) Orbits from central mass. ([Wiki] en [Wiki] ).
The same equation can also be derived using a Lagrangian approach[3] or the Hamilton–Jacobi equation[4] (see below). The solution of the orbit equation is:
$$\varphi =\int {\frac {dr}{\pm r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}$$
where, for brevity, two length-scales
$$a=\frac {h}{c}=\frac{L}{\mu c}$$
$$b=\frac {Lc}{E}$$
They are constants of the motion and depend on the initial conditions (position and velocity) of the test particle.

Toelichting: a verder uitgeschreven na het = teken en uitgedrukt in L en μ. Met: L=angular momentum, μ=reduced mass.

2) Bending of light by gravity ( [Wiki])
In the limit as the particle mass m goes to zero (or, equivalently if the light is heading directly toward the central mass, as the length-scale a goes to infinity), the equation for the orbit becomes:
$$\varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}$$
Toelichting: Ik wil mij eigenlijk beperkt natuurkundig inmengen en laat dit liever aan experts over. Bovenstaande volgens mijn inzicht: de \(lim_{a \rightarrow \infty}\) word genomen. Dit betekend dat: reduced massa μ gaat naar 0 en/of angular momentum L gaat naar infinity.

Opmerking: met deze formule berekend men de limiet (een eeuw geleden was numeriek oplossen moeilijk). Met mijn inzicht betekend dit dat men informatie "weggooit". De limiet nemen heeft een dualistisch karakter. Men verliest dus informatie. Ook aannemelijk men wil niet het licht pad maar de totale deflectie bepalen uit deze vergelijking.

Analyse: Wanneer men deze limiet bestudeerd. Ik heb moeite met de variabele b. Indien met deze uitdrukt in eenheden kom ik uit op meter:
$$b=\frac {Lc}{E} = \frac{(kg)(m^2)}{(s)} \cdot \frac{(m)}{(s)} \cdot \frac{(s^2)}{(kg)(m^2)}=(m)$$
Zoals ik begrijp: b is afhankelijk van de angular momentum dus ook als functie van hoek en radius afstand r. De integraal is dus niet makkelijk oplosbaar (zoals men ook ziet in litteratuur). Op wiki doet men blijkbaar een benadering voor \(b=r_3 \sqrt{r_3/(r_3-r_s)}\) [Wiki].

Indien men met deze functie "speelt" kan men allerhande neveneffecten verkrijgen. Zoals gedemonstreerd in mijn eerste reactie.

Merk op dat deze vergelijking de halve deflectie is. Dus de hoekverdeling waar men soms de twee pieken ziet is gehalveerd. Onderstaand mijn beste poging de totale hoekdeflectie met "echte" getallen. Het plaatje rechts is de hoekverdeling. In sommige benaderingen krijgt men hier twee pieken. Merk op dat de top van de verdeling erg plat is (platte verdeling komt men ook tegen in instabiele zone. Transitie Gauss naar Arcsin).

Mijn inzicht omtrent de twee pieken.
1)
Om de totale licht deflectie berekenen neemt men de limiet voor massaloos deeltje met reduced mass μ naar 0.
2)
Deze limiet is het zelfde als de angular momentum nul te stellen.
3)
Volgens mijn begrip staat dit gelijk alsof het object (lichtstraal) naar het centrum van de grote massa gaat.
4)
Oplossing van de deflectie integraal zijn gecompliceerd er dienen benaderingen gedaan te worden.
5)
Analyse van deze integraal laat zien dat er twee pieken kunnen ontstaan. Dat dient men zelf maar te proberen.
6)
Indien men de echte stralengang berekend via Schwarzschild Jacobi treft men aan het opp. van de zon natuurlijk geen twee pieken.
7)
Stralengang berekend via Schwarzschild Jacobi laat zien dat in de instabiele zone dicht bij centrale massa de hoekverdeling veranderd van Gaussisch naar een Arcsin verdeling via een twee piekige verdeling [Wiki].

Dit laatste is in mijn ogen een bevestiging dat deflectiehoek berekeningen (waarbij limiet: massa is nul en/of angular momentum nul stellen (wat volgens mij hetzelfde is als lichtstraal naar de centrale massa gaat via instabiele zone)

Verder: Computing Power Used to Be Measured in 'Kilo-Girls'. De precieze stralengang en numeriek de deflectie hoek bereken wat vroeger moeizaam. Misschien op deze manier ?
'Kilo Girls'

[wnvl1]

Ik wil eerst zelf eens kijken of ik op deze manier die 1.75 arcsec kan bekomen.
Zolang dat niet het geval is er nog iets anders mis.

[ukster]

Niet al te ingewikkeld uitgelegd..

Deflection of light by the Sun

(202.37 KiB) 74 keer gedownload

[Professor Puntje]

Er blijft dus wel een verschil. In de berekening van Mathpages heb je altijd die 2 pieken en in die van OOOVincentOOO niet.
Kan het zijn dat je

x=r*cos phi
y=r*sin, phi

in de aanpak van OOOVincentOOO niet mag doen? Je integraal levert wel dezelfde totale deflectie op, maar de ogenblikkelijke deflectie gaat anders zijn. De aanpak van Mathpages is op dat vlak iets anders, lijkt mij.

Zonder een transformatie naar het xy-frame kun je de grafiek van \( \frac{\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} x }{ \mathrm{m}/ \mathrm{R}^2 } \) als functie van \( x / \mathrm{R} \) niet bepalen. Iets anders is de vraag in hoeverre je in dat xy-frame de euclidische meetkunde nog mag toepassen. MathPages doet daar verder niet moeilijk over, maar ik ben daar niet zo gerust op.

[Professor Puntje]

Niet al te ingewikkeld uitgelegd..
Deflection of light by the Sun.pdf

En wat heeft die uitleg te melden over het aantal pieken dat er optreedt wanneer men geen benaderingen gebruikt?

[Professor Puntje]

(Ik zou hier eigenlijk niet meer reageren, want tis voor mij wel duidelijk. Alleen ik vind het zo opmerkelijk dat je die pieken werkelijk nergens terug ziet komen. .. Ook niet in Einsteins papieren.)

Onderstaande tabel komt in de buurt:

Bron: https://iopscience.iop.org/article/10.1086/123896

[ukster]

Niet al te ingewikkeld uitgelegd..
Deflection of light by the Sun.pdf

En wat heeft die uitleg te melden over het aantal pieken dat er optreedt wanneer men geen benaderingen gebruikt?

Helemaal niets!
ik reageer op

Ik wil eerst zelf eens kijken of ik op deze manier die 1.75 arcsec kan bekomen.
Zolang dat niet het geval is er nog iets anders mis.

[wnvl1]

Bedoeling is die 1.75 arcsec te halen uit die integraal van OOOVincentOOO. Uit de korte formule

$$\frac{4GM}{c^2R}$$

zal het wel kloppen zeker, al heb ik dat ook nog nooit zelf getest.

[wnvl1]

Er blijft dus wel een verschil. In de berekening van Mathpages heb je altijd die 2 pieken en in die van OOOVincentOOO niet.
Kan het zijn dat je

x=r*cos phi
y=r*sin, phi

in de aanpak van OOOVincentOOO niet mag doen? Je integraal levert wel dezelfde totale deflectie op, maar de ogenblikkelijke deflectie gaat anders zijn. De aanpak van Mathpages is op dat vlak iets anders, lijkt mij.

Zonder een transformatie naar het xy-frame kun je de grafiek van \( \frac{\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} x }{ \mathrm{m}/ \mathrm{R}^2 } \) als functie van \( x / \mathrm{R} \) niet bepalen. Iets anders is de vraag in hoeverre je in dat xy-frame de euclidische meetkunde nog mag toepassen. MathPages doet daar verder niet moeilijk over, maar ik ben daar niet zo gerust op.

Vraag is hoe moet je best die gekromde ruimte bij de zon bij elkaar drukken of uiteenrekken om naar je x, y assenstelsel te gaan.

Via x=r*cos phi, y=r*sin, phi ?