eenvoudige vergelijking voor populatie verandering

[Xilvo]

\(\frac{dp}{dt}=c\) kun je omschrijven naar \(dp=c dt\)
Dat is geen probleem, hoop ik?
Daar staat: in een héél korte tijd \(dt\) vind je een (heel kleine) verandering van de populatie, \(dp\), ter grootte van \(c dt\)

Als \(c\) niet verandert, een constante is, dan hoeft die tijd niet kort te zijn, en werkt het nog steeds. Dan krijg je
\(p_{t_2}-p_{t_1}=c( t_2 - t_1)\)
Dat is hier het geval, en integreren is niet nodig. Al mag het wel, natuurlijk.

Als \(c\) niet constant is, dan werkt het niet meer. Als je constant 100 km/u rijdt, dan weet je dat je in 2 uur 200 km aflegt. Wisselt die snelheid, dan moet je op ieder tijdstip kijken hoeveel meter je aflegt en al die afstandjes optellen. Dat is integreren, feitelijk oneindig veel heel kleine veranderingen optellen.

Dan vind je (omdat je nu moet integreren)
\(p_{t_2}-p_{t_1}=\int_{t_1}^{t_2}c(t) dt\)
Dat kan je pas oplossen als je weet hoe \(c(t)\) van de tijd afhangt. Als c toch constant is vind je weer het eerder resultaat, \(p_{t_2}-p_{t_1}=c( t_2 - t_1)\)

Dit is, kort en niet erg formeel, wat integreren inhoudt.

[ukster]

!

[ukster]

is dit niet gebruik maken van Scheidbare veranderlijken?

Ja,
dp/dt=c
dp=cdt

Dit ook..

Scheiding van variabelen 554 keer bekeken

[flappelap]

is dit niet gebruik maken van Scheidbare veranderlijken?

Ja, in feite wel. Waarom je zomaar met infinitesimalen mag omschuiven kun je formeel dichttimmeren; dat is zeker niet zo triviaal. Een term als dp/dt is immers geen simpele breuk; daar hoort nog een limiet bij.

Je zou nog een boek als Stewarts Calculus kunnen gebruiken als opfrisser, maar da's wel een stevige pil. In hst 9 wordt dit onderwerp behandeld.