atoomklok in zwaartekrachtsveld

[Xilvo]

Licht heeft dezelfde snelheid voor alle waarnemers op locatie X maar vanaf locatie Y kun je op X een andere snelheid zien, een snelheid die afwijkt van de lichtsnelheid op locatie Y.

[HansH]

Licht heeft dezelfde snelheid voor alle waarnemers op locatie X maar vanaf locatie Y kun je op X een andere snelheid zien, een snelheid die afwijkt van de lichtsnelheid op locatie Y.

zou kunnen, maar als dat zo is maakt dat dan de redenatie om tot het antwoord op mijn vraag te komen anders?

[Xilvo]

Hier een natte-vinger berekening om het plausibel te maken.

Een foton heeft een frequentie \(f\). Dat kun je zien als een klok, net als alles wat "trilt".
Als het foton uit de potentiaalput van een planeet klimt verliest het energie en zal de frequentie afnemen, de klok langzamer lopen voor een waarnemer ver van die planeet.

De gravitationele tijddilatatie op het oppervlak van een planeet met straal \(r\) t.o.v. het oneindige is \(\sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}}\)
[Zie Wikipedia ]
Voor zwakke gravitatievelden waarbij \(\frac{2GM}{r c^2}\ll 1\) is dat ongeveer \(1-\frac{GM}{r c^2}\)
De relatieve verandering in de snelheid van de tijd is dus \(\frac{GM}{r c^2}\)

Het foton stuur je vanaf de planeet de ruimte in.
De energie is \(E=h f\), de equivalente massa \(m=\frac{h f}{c^2}\)
Op het oppervlak van de planeet is de potentiaal \(U=-\frac{G M}{r}\), in het oneindige is die nul.

Het foton verliest aan energie \(\Delta E=m\frac{G M}{r} =\frac{h f}{c^2}\frac{G M}{r}=h \Delta f\)

De relatieve verandering van de fotonfrequentie (de snelheid waarmee die klok loopt!) is dan \(\frac{\Delta f}{f}=\frac{G M}{r c^2}\)

Geen rigoureuze berekening maar je ziet dat de resultaten mooi overeenkomen.

[wnvl1]

Een alternatief voor de berekening van Xilvo is dat je stelt dat het effect van zwaartekracht equivalent is met een versnellend frame. Binnen dat versnellend frame is de metriek die van toepassing is de Rindler metriek. Voor de afleiding vvan de Rindler metriek verwijs ik naar de literatuur, dat is omslachtig, maar de metriek is

$$c^2d\tau^2 = \left(1 + \frac{gx}{c^2}\right)^2c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

Om de tijdsdilatatie te bekomen stel je

$$dx=dy=dz=0$$

[wnvl1]

Als je de afleiding van de SRT bekijkt zie je dat onderlinge snelheid van invloed is op hoe de ene waarnemer de klok van een ander ziet maar dat versnelling daar geen invloed op heeft op het moment dat de versnellende klok een snelheid nul heeft t.o.v. een stilstaande klok.

Maar als je met de versnellende waarnemer een nieuw referentieframe associeert, dan vind je in dat nieuwe referentie frame wel tijdsdilatatie terug als je het verloop van de tijd gaat vergelijken tussen verschillende locaties in dat frame. Deze tijdsdilatatie is wel afhankelijk van de versnelling. Dit ter aanvulling, niet ter correctie, want ik begrijp wel dat dat je met bovenstaande post iets anders bedoelde.

[wnvl1]

is dat ook op een simpele manier theoretisch aan te tonen dat de klok loopt even snel op het moment dat je hem vast houd of laat vallen uitgaande van de eigenschap van licht van snelheid c tova alle waarnemers?

Massa kromt de ruimte. De kromming wordt beschreven door een metriek die berekend kan worden uit de Einsteinvergelijking. Het equivalentieprincipe komt er eigenlijk op neer dat je lokaal altijd een nieuw coördinatenstelsel kan kiezen dat meebeweegt met de massa van het voorwerp dat in vrije val is. In dat nieuwe referentieframe is lokaal de ruimte vlak en is de SRT van toepassing. Lokaal wordt de metriek dan de Minkowski metriek. Die metriek is alleen maar heel lokaal geldig. In de SRT neemt die metriek wel het volledige universum in beslag. In de ART slecht een heel klein lokaal gebiedje.

[HansH]

Het equivalentieprincipe komt er eigenlijk op neer dat je lokaal altijd een nieuw coördinatenstelsel kan kiezen dat meebeweegt met de massa van het voorwerp dat in vrije val is. In dat nieuwe referentieframe is lokaal de ruimte vlak en is de SRT van toepassing. Lokaal wordt de metriek dan de Minkowski metriek. Die metriek is alleen maar heel lokaal geldig. In de SRT neemt die metriek wel het volledige universum in beslag. In de ART slecht een heel klein lokaal gebiedje.

Dat is inderdaad wat ik me ook realiseerde, maar daar zit gelijk ook het probleem: als je zwaartekracht vanwege het equivalentieprincipe dus kunt voorstellen als een versnellend referentieframe, dan krijgt dat referentieframe in de tijd dus een steeds groter wordende snelheid terwijl we weten dat tijdsdilatatie een functie is van snelheid. dus zou in die redenatie de tijdsdilatatie continue toe moeten nemen terwijl je in een zwaartekrachtsveld een constante tijdsdilatatie hebt. Op dat punt kan ik het dus niet meer volgen.

[HansH]

Hier een natte-vinger berekening om het plausibel te maken.

Die redenatie ken ik, maar start vanuit formules die beginnen bij het stuk waar de interessante stappen juist nog voor zitten. Hoe kom je vanaf de lichtsnelheid via het equivalentieprincipe (wat wnvl1 dus toelicht als zijnde een versnellend referentieframe) tot tijdsdilatatie door zwaartekracht. Voor mijn gevoel zou ik zeggen dat je dan moet kijken naar dat versnellende referentieframe juist op het moment dat er nog geen snelheid is opgebouwd. tussen waarnemer en het punt in de ruimte waar de andere waarnemer zit en waartussen de tijddilatatie plaats vind zit in feite een verbindingsliijn en voor elk punt op die lijk kun je dan die zelde situatie voorstellen van een versnellend referentieframe watvanuit stilstand begint te versnellen. Dus zou je dan in mijn beleving al die situaties moeten integreren over dat hele pad om op de een of andere manier tot de tijddilatatie te komen.

[HansH]

al_time_dilation]Wikipedia[/url] ]

in die link staat inderdaad een integraal zoals ik ook al beredeneerde, maar ik snap niet hoe die integraal is opgebouwd omdat dat niet wordt uitgelegd. waar komt bv die 1/c^2 vandaan in de integraal. dat zie ik heel vaak: redenaties waarbij essentiele stappen om het te kunnen begrijpen overgeslagen worden waardoor je er nog steeds geen meter mee vooruit komt.

[Xilvo]

als je zwaartekracht vanwege het equivalentieprincipe dus kunt voorstellen als een versnellend referentieframe, dan krijgt dat referentieframe in de tijd dus een steeds groter wordende snelheid terwijl we weten dat tijdsdilatatie een functie is van snelheid. dus zou in die redenatie de tijdsdilatatie continue toe moeten nemen terwijl je in een zwaartekrachtsveld een constante tijdsdilatatie hebt. Op dat punt kan ik het dus niet meer volgen.

Die tijddilatatie geldt alleen voor iemand buiten dat versnellend stelsel, die de snelheid ziet veranderen. Iemand in zo'n stelsel, zeg een almaar versnellende lift in de lege ruimte, ziet op zijn plaats de tijd normaal lopen. Hij ziet wel een klok "onder" in de lift langzamer lopen, een klok aan het plafond sneller lopen.

Hier een natte-vinger berekening om het plausibel te maken.

Die redenatie ken ik, maar start vanuit formules die beginnen bij het stuk waar de interessante stappen juist nog voor zitten.

Er zitten m.i. geen stappen voor. Je gooit een bal omhoog van een plaats met lagere naar een plaats met hogere potentiaal, dan verliest die bal kinetische energie.
Ik schiet een foton omhoog van een plaats met lagere naar een plaats met hogere potentiaal, dan verliest dat foton energie en daalt z'n frequentie. Dat is alles.

Hier een natte-vinger berekening om het plausibel te maken.

Voor mijn gevoel zou ik zeggen dat je dan moet kijken naar dat versnellende referentieframe juist op het moment dat er nog geen snelheid is opgebouwd. tussen waarnemer en het punt in de ruimte waar de andere waarnemer zit en waartussen de tijddilatatie plaats vind

In een zwaartekrachtveld zit je in zo'n versnellend stelsel. Daarom wordt je tegen de grond gedrukt.
Als je een versnellende lift in lege ruimte wil gebruiken moet je niet van buiten kijken maar waarnemers in die lift zetten, die mee versnellen.

al_time_dilation]Wikipedia[/url] ]

in die link staat inderdaad een integraal zoals ik ook al beredeneerde, maar ik snap niet hoe die integraal is opgebouwd omdat dat niet wordt uitgelegd. waar komt bv die 1/c^2 vandaan in de integraal.

Daar heb ik niet naar gekeken en dat heb ik niet gebruikt. Ik heb alleen de formule die daar staat genomen en laten zien dat je met een simpele benadering op hetzelfde resultaat komt.

[wnvl1]

al_time_dilation]Wikipedia[/url] ]

in die link staat inderdaad een integraal zoals ik ook al beredeneerde, maar ik snap niet hoe die integraal is opgebouwd omdat dat niet wordt uitgelegd. waar komt bv die 1/c^2 vandaan in de integraal. dat zie ik heel vaak: redenaties waarbij essentiele stappen om het te kunnen begrijpen overgeslagen worden waardoor je er nog steeds geen meter mee vooruit komt.

Die formule met de integraal bekom je door de Rindler metriek die ik eerder gaf te integreren.
Het is wel leerzaam om de afleiding van de Rindler metriek eens te bestuderen. Flappelap heeft daarover een paper geschreven die ergens op dit forum staat naar aanleiding van een vraag van mij. Dat is de weg die het meest inzicht geeft. Die afleiding past niet in een post van een paar lijnen. Niet zo gemakkelijk, maar doenbaar ook zonder uitgebreide wiskundige kennis. Kennis van tensoren is niet vereist.

Een andere insteek is dat je uitgaat van de Einstein vergelijking. De Einstein vergelijking komt op zich uit de lucht gevallen, maar in elk boek over ART is een hoofdstuk gewijd aan hoe Einstein tot die vergelijkingen kwam. Dat geeft ook inzicht, maar vergt best wel wat achtergrond om zo een hoofdstuk te lezen.

[Xilvo]

Die formule met de integraal bekom je door de Rindler metriek die ik eerder gaf te integreren.
Het is wel leerzaam om de afleiding van de Rindler metriek eens te bestuderen. Flappelap heeft daarover een paper geschreven die ergens op dit forum staat naar aanleiding van een vraag van mij.

Bedoel je dit bericht?

[HansH]

Er zitten m.i. geen stappen voor.

de stappen die ervoor zitten is het verband tussen zwaartekracht en tijd dilatatie via die formule bovenin je bericht. Het gaat er dus om hoe je aan die formule komt vanaf scratch (dus alleen wetende wat de eigenschap is van licht en dat je je in een zwaartekrachtsveld bevind)

[Xilvo]

Er zitten m.i. geen stappen voor.

de stappen die ervoor zitten is het verband tussen zwaartekracht en tijd dilatatie via die formule bovenin je bericht. Het gaat er dus om hoe je aan die formule komt vanaf scratch (dus alleen wetende wat de eigenschap is van licht en dat je je in een zwaartekrachtsveld bevind)

Nee, blijkbaar is dat niet duidelijk. Die formule uit Wikipedia neem ik als gegeven, ik laat zien dat je met een heel simpele berekening (inderdaad vanaf scratch) op hetzelfde resultaat komt.

Mijn berekeningetje begint vanaf "Het foton stuur je vanaf de planeet de ruimte in".

[HansH]

Bedoel je dit bericht?

dus dit verhaal: download/file.php?id=35108
daar worden in formule 2 symbolen gebruikt waarvan ik niet kan achterhalen wat die betekenen. dus houdt het daar op dit moment al op.