Definitie van een functie.

[Bert F]

Nee, voor elk element uit je domein is de functie gedefinieerd - dat betekent nog niet bijectiviteit.

Wat ik bedoel is een functie is gedefineerd voor alle elementen uit zijn domein maar bovendien geld toch dat als (s,t)element van f en (s,t')element van f dan zal t en t' gelijk zijn of nog als ik twee elementen neem uit het domein dan volgt uit het feit dat die functie gedefineerd is in het domein plus bovendien uit netgenoemde eigenschap dat die functie in dat zeker domein toch bijectief moet zijn?

Neem f(x)=x^2 waarbij we van R naar R werken dit is duidelijk geen functie omdt -1 en 1 dezelfde beeldwaarde hebben. dus beperken we R tot R+ dus de positieve reele getalen en beschouwen de functie tussen R+ en R.

En nu zie ik door dit voorbeeld dat we idd niet automatisch kunnen spreken over bijectieviteit pakweg -1 in de doelverzamling word niet bereikt bijgevolg volgt idd niet bijectiviteit.

Of dus Per defenitie een functie is een ding tussen twee ruimtes zondanig dat als ik twee koppels neem bijbehorend aan die functie waarbij ik onderstel dat de bronwaarden gelijk zijn dan volgt dat de beeldwaarde onmogelijk gelijk zijn.

Of nog indien ik een element neem uit de bronverzameling dan volgt een element bijkomend uniek binne de doelruimte maar dit impliceert (door voorbeeld duidelijk geworden) idd niet dat een functie bijectief is.

Denk het te hebben? Groeten.

[TD]

Misschien enkele voorbeelden om het te verduidelijken.

Ik noteer \(f:A \to B:f\left( x \right) = \cdots \) voor de functie f met domein A en codomein B.

1)

\(f: \rr \to \rr :f\left( x \right) = \sin x\)

Dit is een functie, met elke x-waarde komt immers een uniek beeld overeen, namelijk sin(x).

De functie is niet injectief, want verschillende x-waarden kunnen een gelijk beeld hebben: sin(0) = sin(pi) = 0.

De functie is niet surjectief, want in het codomein zijn er elementen die niet bereikt worden, nl. [-1,1]

2)

\(f: \rr \to \rr :f\left( x \right) = x\)

Opnieuw een functie, nu wel injectief. Als de beelden verschillend zijn, zijn de argumenten ook verschillend.

Dat is logisch, want dit is de functie die x op zichzelf afbeeldt.

De functie is ook surjectief, want elk element uit het codomein wordt bereikt. Dit is dus een bijectie.

Om het belang van domein en codomein te benadrukken, beschouw:

3a)

\(f: \rr \to \rr :f\left( x \right) = x^2\)

Wel een functie, maar geen injectie want het beeld f(x) = 4 kan bekomen worden door zowel x = 2 als x = -2.

Het is ook geen surjectie, want alle negatieve elementen uit het codomein worden niet bereikt.

3b)

\(f: \rr \to \rr^+ :f\left( x \right) = x^2\)

Let op het subtiele verschil: ons codomein bevat nu niet meer de negatieve getallen.

Alle positieve reële getallen worden wél bereikt, dus dit is een surjectieve functie, nog steeds geen injectie.

3c)

\(f: \rr^+ \to \rr^+ :f\left( x \right) = x^2\)

Nu is ook het probleem van de injectie weg, er zijn immers geen negatieve argumenten meer.

Voorbeeld van daarnet: het beeld f(x) = 4 kan nu enkel nog bereikt worden met het argument x = 2.

Nu hebben gelijke beelden ook gelijke argumenten, codomein wordt bereikt, dit is wél een bijectie.

[TD]

Wat ik bedoel is een functie is gedefineerd voor alle elementen uit zijn domein maar bovendien geld toch dat als (s,t)element van f en (s,t')element van f dan zal t en t' gelijk zijn of nog als ik twee elementen neem uit het domein dan volgt uit het feit dat die functie gedefineerd is in het domein plus bovendien uit netgenoemde eigenschap dat die functie in dat zeker domein toch bijectief moet zijn?

Wat hier bedoeld wordt is dat je bij gelijke argumenten (namelijk s), niet verschillende beelden kan hebben.

Als dus (s,t) en (s,t') elementen zijn van f, dan moeten t en t' gelijk zijn, anders geen functie.

Dit heeft niets met bijectiviteit te maken, een functie kan nu nog steeds wel of niet bijectief zijn.

Neem f(x)=x^2 waarbij we van R naar R werken dit is duidelijk geen functie omdt -1 en 1 dezelfde beeldwaarde hebben. dus beperken we R tot R+ dus de positieve reele getalen en beschouwen de functie tussen  R+ en R.

Dit is wél een functie, bij elke x hoort een unieke f(x). Wat jij beschrijft is een injectie.

Grafische ondersteuning, bedenk de grafiek van een functie:

- als je een verticale lijn trekt (evenwijdig met de y-as, bijvoorbeeld in x = a), dan mag je maar één snijpunt vinden met de grafiek van de functie. Immers, als er meerdere snijpunten zijn, dan horen er bij één x-waarde meerdere y-waarden, en dat mag niet voor een functie.

- als je een horizontale lijn trekt (evenwijdig met de x-as, bijvoorbeeld in y = b), dan mag je voor een injectie maar maximaal één snijpunt vinden (zoals bij f(x) = x, maar niet bij f(x) = sin(x)), gelijke beelden => gelijke argumenten.

- surjectief op een grafiek betekent dat alle elementen uit het codomein B (bvb , dan de volledige y-as) het beeld moeten zijn van een zekere x-waarde, dus elke horizontale lijn y = b (b in B) moet een snijpunt hebben met de grafiek van de functie.

[Bert F]

Ja dus sin^2(x)+cos^2(y)=1 is geen functie.

[TD]

Zie ook de edit in m'n vorige post.

Begrijp je nu waarom f(x) = x², met f: -> bijvoorbeeld, wel een functie is, maar geen bijectie?

[Rogier]

Wat ik bedoel is een functie is gedefineerd voor alle elementen uit zijn domein maar bovendien geld toch dat als (s,t)element van f en (s,t')element van f dan zal t en t' gelijk zijn of nog als ik twee elementen neem uit het domein dan volgt uit het feit dat die functie gedefineerd is in het domein plus bovendien uit netgenoemde eigenschap dat die functie in dat zeker domein toch bijectief moet zijn?

Nee, waarom? De functie f: , f(x) = 37 (voor alle x ) voldoet aan die eigenschap, en die is beslist niet surjectief, noch injectief.

Ja dus sin^2(x)+cos^2(y)=1 is geen functie.

Klopt.

[Bert F]

ja als we het algemeen een algebraische constructie nemen. die werkt tussen 2 verzamelingen en als die voor een zeker element van de bron net één doel element geeft.

dus zo: (morgen tek)

Groeten.

[Bert F]

dus volgende zijn functies:



maar die niet:



Waarbij die rode gegeven word door

\(y=3 als x<= -3 y=-2.2 als x>=-3\)

Ik weet nu niet hoe het komt maar ik haalde blijkbaar 2 volledig verschillende concepten doorheen.

Een functie is iets waarbij één argument goed gedefinieerd moet zijn dus één beeld hebben.

Totaal verschillend natuurlijk met het spreken over hoe de waardes in de doelverzameling bereikt worden.

Injectief al elementen uit de doelverzameling worden hoogstens één maal bereikt.

surjectief alle elementen uit de doelruimte worden minimaal éénmaal bereikt.

Bijectief beide eigenschappen gelden.

En deze concepten zijn fundamentele verschillend van het karakteriseren wat nu net een functie is namelijk een argument goed defineren.

Denk het zo te begrijpen.

Bedankt Groeten.

[Rogier]

dus volgende zijn functies:

Klopt

maar die niet:

Klopt ook, maar wat die rode lijn betreft alleen om deze reden:

Waarbij die rode gegeven word door

\(y=3 als   x<= -3 y=-2.2 als x>=-3\)

y is nu zowel 3 als -2.2 voor x=-3 (want je hebt staan x<=-3 en x>=-3)

Als er had gestaan:

\(y=3 als x< -3 y=-2.2 als x>=-3\)

of

\(y=3 als x<= -3 y=-2.2 als x>-3\)

dan was het wél een functie geweest.

[Bert F]

Idd dan wel nu niet. Begrijp het.

Bedankt Groeten.