Wie kan ik uitdagen/prikkelen......om dit raadsel op te lossen

[ieoie]

goedendag beste lezer....

hier een uitdaging van een niet zo wiskundig onderbouwd iemand

ik ben zeer geïntrigeerd door een geometrisch figuur.



na vele verzoeken om dit figuur te bouwen in mijn 3d animatie software

is het me tot op de dag van vandaag niet gelukt.....

een kennis van me heeft verteld dat dit vraagstuk op te lossen is via de trigonometrie

maar hij kon het me niet uitleggen, zodat ik het ook kon toepassen in mijn 3d programma

verder als dit kom ik niet in mijn uppie, na vele pogingen, van gokken en testen.....



zoals je ziet komt de cirkel niet mooi uit op de begin cirkel die vanwege zijn 6 ringen voor zover ik begrijp in 6x60 graden verdeeld dient te zijn

wat ik ook probeer, waar ik ook het centrum van mijn cirkel plaats, onder welke hoek ik de 2e cirkel ook draai, ik blijf op deze afwijking uitkomen

nu lijkt het er sterk op dat de oude chinezen dit vraagstuk al konden beantwoorden, en ik op internet nergens kan terug vinden hoe ik dit doen te doen, of hoe hun dit hebben gedaan

zie de bol die de leeuw onder zijn voet houd,

dus ik kon niet anders meer denken dat het de tijd is om de professionals proberen te prikkelen in de hoop dat hun hiermee uit de voeten kunnen en willen

uiteraard word de naam vermeld van diegene die dit raadsel weet op te lossen in mijn animatie

indien de persoon hiermee instemt natuurlijk....

mvg

rob....



hier wat linkjes naar werkjes van mij, tot zover het nu aanwezig is.....

http://www.youtube.com/watch?v=LjI0g7hUMbU

http://www.youtube.com/watch?v=jXsKh1p6vIg...re=channel_page

http://www.youtube.com/watch?v=zAcI6WTpVEw...re=channel_page

[PeterPan]

Die tekening is een voorbeeld van gezichtsbedrog. Als je aan de achterkant van die bol zou kunnen kijken zou er van die fraaie symmetrie niets overblijven.

Er bestaan slechts 5 zogenaamde "Platonische lichamen" zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

Jouw plaatje suggereert dat er nog een zesde is opgebouwd uit zesvlakjes. Dat kan dus niet.

Door 2 verschillende vlakken te gebruiken zij er meer mogelijkheden.

Zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid

[ieoie]

Die tekening is een voorbeeld van gezichtsbedrog. Als je aan de achterkant van die bol zou kunnen kijken zou er van die fraaie symmetrie niets overblijven.

Er bestaan slechts 5 zogenaamde "Platonische lichamen" zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

Jouw plaatje suggereert dat er nog een zesde is opgebouwd uit zesvlakjes. Dat kan dus niet.

Door 2 verschillende vlakken te gebruiken zij er meer mogelijkheden.

Zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid

vele malen dank peterpan

je bevestigd mijn uren puzzelen en vogelen dat dit gewoon niet mogelijk is......

ja, ik ben bekend met de platonische lichamen, en de archimedische figuren

heb menig maal gedacht een nieuwe te vinden wanneer me dit zou lukken....

want zo zag het er onderweg regelmatig uit, aan het einde was ik keer op keer weer een illusie armer...

na uren assen bouwen en spelen met mogelijkheden in me hoofd en me 3d software....

een bevestiging van een expert....en een zeer inspirerende video als toetje.....

dit ziet er zeer veel belovend uit en ga hier na mijn count 64 aan beginnen

dit is echt super....en zeer zekers inspirerend

vele malen dank voor je snelle reply en nieuw aangedragen inspiratie......

sukses en veel plezier met al je bezigheden....

rob...

[jadatis]

Toch hebben we vroeger wel eens een bol moeten maken ( lampekap) van allemaal driehoeken, en dat lukte ook. En een voetbal maakte ze vroeger ook van allemaal zeshoeken.

Eigenlijk bestaat deze bol ook uit allemaal driehoeken, waar om de zijden twee cirkelbogen getekent zitten.

Dus als je het principe van cirkels in elkaar schuiven loslaat en eerst van driehoeken uitgaat, dan zou daar een min of meer bolvorm uit moeten komen. later teken je dan cirkels door de hoekpunten heen.

Bedenk ook dat de cirkels in het platte vlak zitten, met het centrum iets onder het "aard"oppervlak.

Als je over de evenaar 6 zeshoeken plaatst dan kan het nooit kloppen.

Maar door de veel in elkaar geschoven cirkels, kun je ook 7 of zelfs 7,5 zeshoek- afstanden op een ronde zetten.

[PeterPan]

Die voetbal waar jij het over hebt bestond uit 5-vlakken en 6-vlakken.

Het is heel simpel aan te tonen dat er maar 3 bolvormige figuren bestaan opgebouwd uit regelmatige driehoekjes.

Een regelmatig driehoekje heeft 3 gelijke hoeken.

In het vlak kunt je 6 van die driehoekjes tegen elkaar leggen zodat ze allen een hoekpuntje gemeenschappelijk hebben.

Dat lukt duidelijk niet met meer dan 6 driehoekjes, want bij 6 ligt alles dicht.

Als we een bolvormige figuur met die driehoekjes willen maken, dan kunnen slechts 5,4,3 driehoekjes in 1 punt samenkomen (2 en 1 gaat natuurlijk niet).

Nou, en dat zijn nou net de 3 mogelijkheden die je ziet in

http://nl.wikipedia.org/wiki/Platonisch_lichaam

(viervlak, achtvlak, twintigvlak).

[jadatis]

De voetbal met 6 en 5 vlakken is een ontwikkeling van de laatste decenia, omdat dat een mooier ronde vorm geeft. In eerste instantie voor landkaarten bedoeld.

vroeger waren het toch echt alleen 6 vlakken, en ik meen van gelijke groote.

Als ik het plaatje goed bekijk, dan vermoed ik dat er met 8 , 8,5 of 9 zeshoeken op een omloop gewerkt is. Wanneer je het als opgebouwd uit driehoeken beschouwd, dan moet je later cirkels trekken met als centrum iets onder het "aard"oppervlak ter plaatse van ieder hoekpunt. De cirkel-lijn loopt dan door de 6 omringende hoekpunten. Daarvoor moet de straal kleiner zijn dan de lengte van de zijden van de driehoeken, Omdat het centrum onder het oppervlak ligt van de bol.

[jadatis]

Nu ik topicstarters 2e plaatje nog eens goed bekijk, zie ik dat die de centra van de blauwe cirkels in de hoekpunten van de driehoeken geplaatst heeft, maar op het bol-oppervlak.

Daardoor loopt de blauwe bovenste cirkel boven rechts onder het bol-oppervlak. Volgens mijn gevoel zou dit nu just boven het bol oppervlak moeten lopen op die manier, maar dat beredeneer ik dan denk ik verkeerd. In ieder geval moet je er voor zorgen dat de normaal-vector van ieder apart cirkelvlak de straal is van de bol. Afstand centrum cirkel tot centrum bol dus iets kleiner dan de straal van de bol.

Daaruit blijkt het belang van het centrum onder het bol-oppervlak te kiezen.

ook gaat er een boel mis, doordat de afstanden, volgens mij daar over het boloppervlak te bepalen.

De driehoeken zijn in werkelijkheid niet plat maar zijn gesneden uit een boloppervlak.

De cirkels zitten echter wel in het platte vlak.

[ieoie]

Nu ik topicstarters 2e plaatje nog eens goed bekijk, zie ik dat die de centra van de blauwe cirkels in de hoekpunten van de driehoeken geplaatst heeft, maar op het bol-oppervlak.

Daardoor loopt de blauwe bovenste cirkel boven rechts onder het bol-oppervlak. Volgens mijn gevoel zou dit nu just boven het bol oppervlak moeten lopen op die manier, maar dat beredeneer ik dan denk ik verkeerd. In ieder geval moet je er voor zorgen dat de normaal-vector van ieder apart cirkelvlak de straal is van de bol. Afstand centrum cirkel tot centrum bol dus iets kleiner dan de straal van de bol.

Daaruit blijkt het belang van het centrum onder het bol-oppervlak te kiezen.

ook gaat er een boel mis, doordat de afstanden, volgens mij daar over het boloppervlak te bepalen.

De driehoeken zijn in werkelijkheid niet plat maar zijn gesneden uit een boloppervlak.

De cirkels zitten echter wel in het platte vlak.

hoi jadatis

het verhaal van de 6 hoekige voetbal ken ik ook nog ergens van, ergens vaag in me geheugen komt er een oude tv uitzending van voetballen omhoog

voor zover ik weet komen beiden manieren,

Op (D-blauw) en In (L-blauw) de bol niet exact uit en is dit de afwijking waardoor de voetbal niet exact rond is

ik ga eens een ring om de evenaar maken en kijken hoe ik dan bij de polen uitkom

enig idee van mbt de grote van de cirkels ten opzichte van de bol.....

dit is zoizo vast een afbeeling met de harten van de circels op de bol ipv erin en je ziet ze dan weer elkaar missen in exacte kruisingen....

[jadatis]

bol 910 keer bekeken

Ik moet het met paint doen, maar heb geprobeerd de belangrijke lijnen aan te geven.

R is de straal van de bol en r is de straal van de cirkels op het oppervlak.

d is de afstand van het cirkelvlak-middelpunt tot het middelpunt van de bol

De 2 driehoekjes die de cirkel overbrugt, zitten er altijd 2 van in het platte vlak.

Dan zijn met pythagoras exact de juiste cirkelstralen te berekenen, en ook de exacte d te berekenen.

Je zou de zijden van het onderste driehoekig "yspegeltje"kunnen uitrekenen.

Je moet daarvoor wel eerst bepalen hoeveel je er op een cirkel zet.

Dan zou je van deze pegels een bol kunnen maken waarvan je op het boloppervlak alleen de gelijkzijdige driehoekjes ziet. in de bol sluiten dan de gelijkbenige driehoeken tegen elkaar met de 2 gelijkbenige zijden D ( Bolstraal) en de korte zijden aansluiten op de gelijkzijdige driehoek, die op het boloppervlak zichtbaar is , en waarvan de afmetingen afhankelijk zijn van uit hoeveel driehoekjes je de bol samenstelt.

Heb je in je nieuwe plaatje wel voor alle drie de donkerblauwe de zelfde gegevens gebruikt? Een vergissing is zo gemaakt.

Dus in het plaatje R, r, en d voor alle hetzelfde. mijn ruimtelijk inzicht doet vermoeden dat de cirkel die zo sterk er bovenuit komt mogelijk toch weer op de bol zit.

Kan ook zijn dat je de diameter van de 2 wel kruizende zo op maat gemaakt heb dat die wel kloppen.

Dan zouden ze niet elkaar op 1/6e van de cirkelomtrek kruizen.

[ieoie]

[attachment=3288:bol.jpg]

Ik moet het met paint doen, maar heb geprobeerd de belangrijke lijnen aan te geven.

R is de straal van de bol en r is de straal van de cirkels op het oppervlak.

d is de afstand van het cirkelvlak-middelpunt tot het middelpunt van de bol

De 2 driehoekjes die de cirkel overbrugt, zitten er altijd 2 van in het platte vlak.

Dan zijn met pythagoras exact de juiste cirkelstralen te berekenen, en ook de exacte d te berekenen.

Je zou de zijden van het onderste driehoekig "yspegeltje"kunnen uitrekenen.

Je moet daarvoor wel eerst bepalen hoeveel je er op een cirkel zet.

Dan zou je van deze pegels een bol kunnen maken waarvan je op het boloppervlak alleen de gelijkzijdige driehoekjes ziet. in de bol sluiten dan de gelijkbenige driehoeken tegen elkaar met de 2 gelijkbenige zijden D ( Bolstraal) en de korte zijden aansluiten op de gelijkzijdige driehoek, die op het boloppervlak zichtbaar is , en waarvan de afmetingen afhankelijk zijn van uit hoeveel driehoekjes je de bol samenstelt.

Heb je in je nieuwe plaatje wel voor alle drie de donkerblauwe de zelfde gegevens gebruikt? Een vergissing is zo gemaakt.

Dus in het plaatje R, r, en d voor alle hetzelfde. mijn ruimtelijk inzicht doet vermoeden dat de cirkel die zo sterk er bovenuit komt mogelijk toch weer op de bol zit.

Kan ook zijn dat je de diameter van de 2 wel kruizende zo op maat gemaakt heb dat die wel kloppen.

Dan zouden ze niet elkaar op 1/6e van de cirkelomtrek kruizen.

6 driehoekjes per cirkel....

met paint kan je in ieder geval beter uit de voeten dan ik....

pythagoras bereken lukt me nog net..... dergelijke uitkomsten weet ik nog niet toe te passen in mijn software

hier even een kijkje in de keuken voor je...

een rotatie over 3 assen berekenen is me toch wel een heel ver van mijn bed show.....mocht het mogelijk zijn.....

want waarden kan ik rechts invullen wanneer ik ze zou weten.....

misschien lukt het je zo om het in mijn taal en mogelijkheden uit te leggen...

of wat tips te geven hoe ik te werk kan gaan.......de pivotpoint (centrum) van de cirkel zie je door de manipulatoren die het aangeeft, vierkantje met pijltjes...., de pivot point geeft me 3 opties, translate, rotate en scale....

(translate is verschuiven over X-Y en Z)

manier a en manier b



manier b heeft een iets grotere cirkel ivm het raken van de assen



ik maak een cirkel en die heeft een centrum punt (pivot point), (dit pivotpoint kan ik verplaatsen ergens binnenin de cirkel of naar waar dan ook in mijn ruimte, zou hem bv zo in het centrum van de bol kunnen plaatsen ipv in het centrum van de cirkel waar die nu staat, wanneer ik dat zou doen zou ik dus de cirkels om het centrum van de bol roteren)

deze cirkel kopieer en plak ik in het programma, dus zijn altijd identiek....mits ik ze net als bij manier b een beetje gescaled heb....

het programma kent zoals je gezien hebt, een boven, voor, zij aanzicht en een 3d compilatie

dus het is geen wiskundig programma waar in ik hoeken en lijnen kan uitrekenen of dat het programma dit soort dingen kan bijhouden of toepassen

alvast vele malen dank voor je tijd en moeite, het is zeer tof wanneer dit gaat lukken

want dan hebben we een 6e platonisch lichaam gevonden.....hoop doet leven, al is het maar voor even....

ga zelf ook eens snuffelen hoe ik die driehoekjes kan maken en dan pythagoras daarop weet toe te passen want dat klinkt toch wel heel logisch en mogelijk.....heb dat idee zelf nog niet bedacht of proberen toe te passen

al gaat logisch niet altijd op in dit verhaal ben ik al achter gekomen....

op hoop van zegen....hahaha.... bedankt wederom voor het mee uitvogelen....

mvg

rob

[jadatis]

Ik heb het figuur nog eens bestudeerd. De donkerrode cirkel met wit in het midden komt steeds weer terug. recht naar boven, zou je denken cirkel > halve cirkel tussenruimte. weer cirkel met zelfde patroon> enz. denk je deze op een ring dan zou je dus minimaal 5 van deze figuren op een ronde hebben en kom je dus als je rond gaat weer bij de middelste cirkel uit. Zelf denk ik dat je hier niet de helft van de bol ziet. Dus dan zouden het er ook nog 7 of zelfs 8 of zelfs 9 kunnen zijn. Dan is de omtrek bij 5 basiscirkels dus 7,5 cirkel, Bij 6 >9, bij 7>10,5 en bij 8>12 ( 9 >13,5). Dus bij 7 cirkels moet je dus om de 360 gr/10,5=34,286 graden een cirkel tekenen en . In het horizontale vlak zitten steeds de rechte kanten van de zeshoek tegen elkaar welke dan ook een geheel aantal op de cirkelomtrek moeten passen. De breedte van de zeshoek is 1/2*wortel3 x de hoogte van het 6 hoek. bij 10,5 cirkel, wat de hoogte van de 6 hoek is moet er dus op de evenaar 10,5/halfwortel3=11,54 zeshoeken op een omtrek. Dat is bij benadering 1 meer dan in de hoogte Ga je uit van ringen dan is er nooit een mooie regelmatige bol te maken, wel een cylinder, want er moeten wel steeds hetzelfde aantal zeshoeken in elkaar sluiten dan.

Ik denk daarom dat je het moet zien als een appelschil. Of mogelijk 2 of 3 schillen in elkaar gedraaid. Ga je rond met de basiscirkel in het midden dan kom je uit in de cirkel rechts of links onder met hetzelfde patroon.

En dan begin ik de berekeningen die daarvoor nodig zijn een beetje veel kwijt te raken, maar het heeft iets te maken met dat de omtrek van de bol, de diagonaal van een rechthoek gevormd door 10,5 zeshoeken achter elkaar moet zijn, of zelfs die van 2 naast elkaar.. Dan kun je weer op hele uitkomen als je de punten in elkaar sluit.

Dus exact aantal en grootte van de cirkels kan ik je nog niet geven, maar mogelijk geeft dit anderen of jezelf weer voer tot verder redeneren.

Je moet hier niet uit het oog verliezen wat je wilt bereiken. Het hoeft niet een wiskundig sluitend figuur te worden. Het hoeft alleen maar te kloppen. Zo zie ik in de figuur op ieder kruispunt een klein cirkeltje, wat mogelijk is om kleine onnouwkeurigheid te verdoezelen. En hoe meer zeshoeken, of beter driehoeken op de bol, des te kleiner worden verschillen zodat die op het laatst bijna nul worden.

[jadatis]

Ik ben er uit, hoe het in elkaar steekt. .......denk ik

Het figuur bestaat uit 2 in elkaar gedraaide figuren van 11,5 zeshoek op een spiraalvormige omtrek van de bol, waarbij de bolomtrek de diagonaal is van 11 uur op zeshoek een Naar beneden rond de bol naar 5 uur op zeshoek 12 waar ze met zijde 3-5 uur van 6hoek12 op zijde9-11 uur van 6hoek1 op elkaar aansluiten. Daarom gaat het fout met de 3e cirkel, die komt van het andere figuur.

In de richting 90 graden op de platte zijden van de zeshoek zitten de punten die op de cirkelomtrek zitten. van deze cirkels zitten er 10,5 op een ronde. Moet nog even wat rekenwerk naar boven halen, maar dan kun je gaan componeren. Eerst een bolvorm van 6 hoeken,en dan na 3 dagen werk daar precies goed verschoven overheen zo'n zelfde. Daarna vlakken inkleuren en genieten.

De Lijndikte wordt gebruikt om net niet helemaal op elkaar aansluiten te verdoezelen.

Daarom moet ik 2 cirkeldiameters uitrekenen met daarbij behorenden afstand van het centrum (Pivotpunt?) tot het centrum van de bol. tussen deze 2 cirkels kleur je het grijs zoals in je plaatje en op ieder centrum zet je een klein cirkeltje ook zoals op je plaatje.

Dus je maakt een streng van allemaal zeshoeken aan elkaar, en deze vouw je in elkaar als een schil de bol rond. Dan heb je de helft van de figuur. Datzelfde doe je een halve cirkel verschoven en dan kan ioie gaan inkleuren.

Zal proberen daar een paintplaatje van te maken en de cirkeldiameters uitrekenen.

Zijn er nog voorkeuren voor de afmetingen?

Verder zou je dan het oog op een vrij korte afstand van de bol kunnen zetten in je program, en dan er eventueel muisgestuurd in een cirkel om de bol heen kunnen draaien, als dat in je programma mogelijk is,of natuurlijk de bol laten draaien.

bolzicht 898 keer bekeken

Je ziet in dit plaatje dat het deel van de bol, dat je ziet afhankelijk is van de afstand van je oog tot de bol.

[jadatis]

bolpuzzel 896 keer bekeken

Het verhaaltje wordt nog iets anders.

Een kloppend figuur krijg je als er 8 ,12, of 16 zeshoeken op een bolomtrek zitten, in het patroon zoals ik geschetst heb.

Ik gok nu even bij je beginfiguur op 12 .

En dan voer ik even een nieuwe lengtemaat in, in plaats van centimeter de eenheid graden.

Stel je hebt een omtrek van de bol van 360 graden, dan om de 360/12 =30 graden een streepje.

Deze afstanden van 30 graden zijn 3/4 van de diameter van de cirkels die je gaat tekenen.

Dus de cirkels hebben een diameter van 4/3*30 = 40 graden. En nu vertalen we de graden lengte naar hoeken Dus de hoeken worden 40 graden voor de cirkeldiameter dus de straal 20 graden.

vanuit deze evenaar trek je om de 30 graden een lijn over het boloppervlak naar de polen van 1/8maal wortel 3 maal 40 graden =8,66025 graden. Op die plek komt om en om naar noord en zuid de centra van de cirkels op het binnenboloppervlak. Deze zitten dus op beide merindianen om de 1,5x40graden is 60 graden. Bereken wat de omtrek van de meridiaan is op die plaats.dat is ook weer cosinus 8,66025 maal de bolomtrek of straal Rb 9,88599 cm. Op die meridiane trek je ook weer de cirkels met hun coctail-parapluprikker in het centrum van de bol.

Dan zal zeer waarscheinlijk de cirkels op elkaar kruisen . die 8,88 graden zijn de kleine rode lijntjes in het schetsje en de blauwe lijn is de evenaar.

De centra van alle cirkels zitten op een kleinere bol de straal van deze kleinere bol heb ik Rk genoemd

De straal van de grote bol Rb Rk= cosinus(40graden/2)maal Rb . de straal van de cirkels, waar het je hier om gaat is de sinus(40graden/2) = 0,342020 maal Rb

Dus bij een bolstraal van 10 cm wordt dit 3,42020cm = 6,84040 cm diameter cirkels met centrum op de kleine binnenbol met straal 9,396926 cm .

[ieoie]

[attachment=3316:bolpuzzel.jpg]

Het verhaaltje wordt nog iets anders.

Een kloppend figuur krijg je als er 8 ,12, of 16 zeshoeken op een bolomtrek zitten, in het patroon zoals ik geschetst heb.

Ik gok nu even bij je beginfiguur op 12 .

En dan voer ik even een nieuwe lengtemaat in, in plaats van centimeter de eenheid graden.

Stel je hebt een omtrek van de bol van 360 graden, dan om de 360/12 =30 graden een streepje.

Deze afstanden van 30 graden zijn 3/4 van de diameter van de cirkels die je gaat tekenen.

Dus de cirkels hebben een diameter van 4/3*30 = 40 graden. En nu vertalen we de graden lengte naar hoeken Dus de hoeken worden 40 graden voor de cirkeldiameter dus de straal 20 graden.

vanuit deze evenaar trek je om de 30 graden een lijn over het boloppervlak naar de polen van 1/8maal wortel 3 maal 40 graden =8,66025 graden. Op die plek komt om en om naar noord en zuid de centra van de cirkels op het binnenboloppervlak. Deze zitten dus op beide merindianen om de 1,5x40graden is 60 graden. Bereken wat de omtrek van de meridiaan is op die plaats.dat is ook weer cosinus 8,66025 maal de bolomtrek of straal Rb 9,88599 cm. Op die meridiane trek je ook weer de cirkels met hun coctail-parapluprikker in het centrum van de bol.

Dan zal zeer waarscheinlijk de cirkels op elkaar kruisen . die 8,88 graden zijn de kleine rode lijntjes in het schetsje en de blauwe lijn is de evenaar.

De centra van alle cirkels zitten op een kleinere bol de straal van deze kleinere bol heb ik Rk genoemd

De straal van de grote bol Rb Rk= cosinus(40graden/2)maal Rb . de straal van de cirkels, waar het je hier om gaat is de sinus(40graden/2) = 0,342020 maal Rb

Dus bij een bolstraal van 10 cm wordt dit 3,42020cm = 6,84040 cm diameter cirkels met centrum op de kleine binnenbol met straal 9,396926 cm .

Hoi Jadatis,

ik zie zojuist na een lange afwezigheid op het forum dat je door bent blijven puzzelen

ook heb ik bij mijn instellingen ingesteld dat ik mails ontvang wanneer mensen op een bericht reageren

dus weet ik voortaan tenminste wanneer een volharde puzelaar, met een mogelijkheid komt aanvliegen.....

dankjewel....

sry dat ik niet meer gereageerd heb, eerlijk gezgd had ik het al opgegeven, omdat het zeer aannemelijk is dat het zou betekenen dat er een 6e platonisch lichaam is.....

wat je hier laat zien klinkt vrij aannemelijk mogelijk, al is het wel een beetje foetelen volgens mij.....

mocht je zin en tijd hebben, zouden we hier misschien een keer live induiken

want jou berekening zelf toepassen is voor mij niet weggelegd.....

doe ik mijn scherm met jou delen, en zeg jij mij wat te doen......

dankjewel

Rob