Onze waarnemingshorizon

[Camiel Wijffels]

Op welke afstand bevind zich op dit moment onze (menselijke) waarnemingshorizon in het heelal? Tot hoever kunnen we dus terug kijken in het verleden? En waarom is dat onze waarnemingshorizon? Is dat (heel toevallig) een bol van 13,7 miljard lichtjaar, omdat het heelal (niet geheel toevallig) ook 13,7 miljard jaar oud is? Of is hier een andere waarde en/of verklaring van toepassing?

[Michel Uphoff]

Daar is kortgeleden hier over bericht.

[Camiel Wijffels]

Dus, als ik deze artikelen goed lees, zijn er twee verschillende horizons: de event horizon en de particle horizon (the observable universe). Daarnaast is er ook nog de Hubble sphere, de bol die je krijgt wanneer je de recessie snelheid tot c laat oplopen. Ik wil het even over het laatste hebben, de Hubble sphere.
 
Is het heel erg toevallig dat die Hubble sphere nu, juist op dit moment, op nagenoeg dezelfde afstand ligt als de leeftijd van het heelal? De leeftijd van het heelal wordt in het document uit jouw link, "Expanding Confusion Lineweaver Davis.pdf", gesteld op 13.5 Gyr. In datzelfde document  wordt de Hubble constante gesteld op 70km/s/Mpc, wat de volgende berekening oplevert: 
    c / H * 3.26    =    300.000 / 70 * 3.26    =    13.97 Glyr
waarbij c is de lichtsnelheid, H is de Hubble constante en 3.26 is de omrekenfactor van Parsec naar lichtjaren.
 
De vraag is: doe ik iets fout? Of mis ik iets? En zonee, is het feit dat deze beide getallen bijna gelijk zijn, een toevallige bijkomstigheid? Net zoals de Maan en de Zon ongeveer precies even groot lijken vanaf de aarde, waardoor nog enkele miljoenen jaren steeds korter durende zonsverduisteringen mogelijk zijn? Of is de één afgeleid van de ander, en zijn ze dus wel gecorreleerd?
 
Het is misschien wel niet zo een slimme vraag, omdat het "logisch" is. Maar ondanks mijn verwoede pogingen het te begrijpen, mis ik hier al enige jaren het logische verband....

[Michel Uphoff]

Nee, dat is geen toeval. Als we wat complicaties buiten beschouwing laten, en aannemen dat het heelal altijd met een constante snelheid heeft uitgedijd:
 
Wat is de leeftijd van het heelal:
De recessiesnelheid v is de Hubbleconstante H maal de afstand d, v=H.d, dus H=v/d. De inverse van de Hubbleconstante, 1/H,  moet dan de dimensie tijd hebben: 

\(\frac{1}{H} = \frac{1}{v/d} = \frac{d}{v} = \frac{m}{m/s} = seconden \)

Tevens blijkt hieruit dat de dimensie van H overeenkomstig het SI 1/s moet zijn. De fysische betekenis is dat 1/H (de Hubbletijd) de tijd is die nodig is om bij constante H het heelal te laten krimpen naar de afmetingen bij de oerknal.
Dus is de leeftijd van het heelal: 1/H
 
Wat is de afstand van een object dat met c van ons af beweegt:
De wet van Hubble stelt dus v=H.d Laten we de afstand waarop het object zich met de lichtsnelheid van ons verwijdert d_c noemen. Dan kunnen we de wet van Hubble voor dat object zo schrijven: c=H.d_c, oftewel d_c=c/H.
Als we d_c in lichtseconden uitdrukken, en berekenen de reistijd van licht over deze afstand, dan kunnen we ook schrijven: 

\(\frac{d_c}{c} = \frac{c/H}{c} = \frac{1}{H} = seconden \)

Dus is de reistijd van licht vanaf de Hubble sphere (waar de recessiesnelheid c is) naar ons: 1/H
 
Het is -afgezien van de complicaties- per definitie zo dat beide waarden gelijk aan de Hubbletijd, 1/H zijn.
 
Als we wat aan gaan rekenen:

\(H_{0}=72\frac{km/s}{Mpc}\)

Een megaparsec is 3,0857 × 10¹⁹ km, delen we dit door 72 km/s dan komt daar 4,28.10¹⁷ seconden oftewel 13,6 miljard jaar uit. Zo lang heeft het licht vanaf de rand van de Hubble sphere moeten reizen voor het ons bereikte.
 
De verschillen vinden hun oorzaak in de versnelde expansie door de hypothetische donkere energie en het niet in de tijd constant zijn van de Hubble constante (daarom wordt hij vaak aangegeven met H₀ , de Hubbleconstante nu), en wat correcties agv de Art. Maar voor een grove schatting volstaat het. 
De Hubble sphere zou samenvallen met de event horizon indien H werkelijk altijd constant was geweest in een heelal zonder versnelde expansie.

[Camiel Wijffels]

Is het dan niet zo dat de leeftijd van het heelal minimaal gelijk is aan 1/H? En dat de werkelijke leeftijd veel groter kan zijn? (als we de complicaties buiten beschouwing laten, en aannemen dat heelal altijd met constante snelheid heeft uitgedijd)
 
Ik begrijp namelijk uit jouw laatste antwoord (and please tell me if I am wrong) dat 1/H = d/v. Dus wanneer we 3.09x10¹⁹ km delen door 72 km/s komen we uit op 13.6 miljard jaar voor de leeftijd van het hellal. Maar als we dezelfde berekening over, laten we zeggen, 10 miljard jaar uitvoeren, komt daar exact hetzelfde antwoord uit. Namelijk een leeftijd van het heelal van 13.6 miljard jaar.
 
Dit houdt in dat, voor zover ik nu kan zien, de leeftijd van het heelal een stukje, best wel veel of heel erg veel groter is dan de nu aangenomen waarde van ongeveer 13.5 miljard jaar...  Of is er een andere dringende reden om aan te nemen dat de leeftijd toch "slechts" 13.5 miljard jaar is?

[Michel Uphoff]

De Hubble constante is een constante in de ruimte, maar niet in de tijd. Wat dat betreft is het een ongelukkig gekozen naam.
Dus over 10 miljard jaar moeten we zeker niet meer met 72 km/s/Mpc rekenen, en met welke waarde wel is afhankelijk van het kosmologisch model.
 
Nu met de huidige Hubble constante (H₀), terugrekenend naar het moment waarop het waarneembare heelal geslonken moet zijn tot een punt, levert die ruim 13 miljard jaar op.
 
Ik zal even kijken of ik wat verantwoorde documentatie kan vinden over de waarde van H in het verleden en de toekomst.

[descheleschilder]

Ik begrijp namelijk uit jouw laatste antwoord (and please tell me if I am wrong) dat 1/H = d/v. Dus wanneer we 3.09x10¹⁹ km delen door 72 km/s komen we uit op 13.6 miljard jaar voor de leeftijd van het hellal. Maar als we dezelfde berekening over, laten we zeggen, 10 miljard jaar uitvoeren, komt daar exact hetzelfde antwoord uit. Namelijk een leeftijd van het heelal van 13.6 miljard jaar.
 

 
Dit houdt in dat, voor zover ik nu kan zien, de leeftijd van het heelal een stukje, best wel veel of heel erg veel groter is dan de nu aangenomen waarde van ongeveer 13.5 miljard jaar...  Of is er een andere dringende reden om aan te nemen dat de leeftijd toch "slechts" 13.5 miljard jaar is?

 

 
Laten we voor het gemak even uitgaan van een constante H₀. Het is Natuurlijk niet zo dat over 10 miljard jaar de leeftijd van het heelal nog steeds 13,6 miljard jaar is, maar gewoon 23,6 miljard jaar. Wat wel gelijk blijft (omdat we H₀ als constant beschouwen) is de afstand waarop objecten zich met de lichtsnelheid van ons verwijderen. De grootte van de Hubble sfeer blijft gelijk. Een megaparsec gedeeld door H₀ blijft ook gelijk. 10 Miljard jaar geleden, nu, of 10 miljard jaar in de toekomst zal dit altijd 13,6 miljard jaar geven. Hetgeen toch vreemd is, hetgeen je doet denken dat dit niet de leeftijd van het heelal is. Vandaar dat Camiel denk ik terecht opmerkte dat het heelal een stukje, best wel veel of heel erg veel groter is dan de nu aangenomen waarde van 13,6 miljard jaar. Ik kan er niet precies de vinger opleggen.

[Michel Uphoff]

Ik zal even kijken of ik wat verantwoorde documentatie kan vinden over de waarde van H in het verleden en de toekomst.

 

Dat valt in die zin tegen, dat als je er induikt er behoorlijk wat specialistische wiskunde opdoemt, waarvan ik nog grijzere haren krijg dan ik al heb. Dus maar gekozen voor een pragmatische aanpak en de grafiek van Lineweaver en Davis (zie de link in mijn eerste antwoord) schaamteloos aangepast en misbruikt om het even ruwweg op te meten.

 

H0-H1 1687 keer bekeken

Originele bron: Lineweaver & Davis, klik voor grotere weergave.

 

Leeftijd heelal 7,5 Gyr, straal Hubble sphere 9,7 Glyr (3000 Mpc), H_7,5 =c/3000 = 100

Leeftijd heelal 13,5 Gyr, straal Hubble sphere 14 Glyr (4300 Mpc), H₀ =c/4300 = 70

Leeftijd heelal 24 Gyr, straal Hubble sphere 16,2 Glyr (5000 Mpc), H₂₄ =c/5000 = 60

 

We moeten er rekening mee houden dat de hele grafiek gebaseerd is op berekeningen volgens het ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter) model (klik), dat goed aansluit bij de waarnemingen maar niet vrij is van debat. In de grafiek zijn correcties a.g.v. de Art, de donkere materie (~0,3) en de donkere energie (~0,7) meegenomen.

 
De berekende waarden zijn op dit moment:
Ωb 0,0456 aandeel baryonische ('gewone') materie

Ωc 0,227 aandeel koude donkere materie

ΩΛ 0,728 aandeel donkere energie

Ω = 1 +/- 0,03

 

Ω is 1, dus een nagenoeg vlak heelal dat sedert ruwweg 5 miljard jaar geleden versneld expandeert (de rode lijn in onderstaande grafiek). Zou er geen donkere energie in het heelal zijn, en Ω geheel bestaan uit (donkere) materie, dan zou de leeftijd van het heelal ongeveer 10 miljard jaar zijn.

 

expansion ldcm 1687 keer bekeken

Schaalfactor (nu=1) van het universum bij verschillende verhoudingen van donkere materie en donkere energie. Bron: Nasa

Overigens is de fysische betekenis van de Hubble sphere, die geheel geen horizon is, zeer beperkt. Dat wordt in genoemd paper verder toegelicht. Rekenen met een in de tijd constante H is onzinnig, en betekenis hechten aan die uitkomsten eveneens.

 
Met deze calculator kan de waarde van H in het verleden worden berekend. Bij Ωc=0.3, ΩΛ=0.7, Z=0.64 en H₀=70 komt daar inderdaad H_7,5=100 uit.

[Camiel Wijffels]

At last, een beetje licht in de duisternis. De Hubble constante is dus wel constante in de ruimte, maar niet in de tijd. Op dit moment is de Hubble constante (H₀) ongeveer gelijk aan 70 km/s/Mpc. De leeftijd van het heelal komt met d/v (zie boven) momenteel op ongeveer 13.5 miljard jaar. Wanneer we echter een kijkje nemen naar een jong heelal van 7.5 miljard jaar, dan is de Hubble constante ongeveer 100. En wanneer we kijken naar het heelal wanneer het 24 miljard jaar oud is, is de Hubble constante nog maar ongeveer 60. (Met dank voor de calculator!)
 
Dat deze getallen kloppen wil ik graag aannemen, maar dan moet er nog een onduidelijkheid voor mij opgehelderd worden. Eerder in deze thread berekende Michel de leeftijd van het heelal, door een megaparsec te delen door de Hubble constante. Als ik diezelfde berekening echter toepas op de waarden voor een heelal van 7.5 miljard jaar oud, dan krijgen we: 3.0857x10¹⁹km gedeeld door 100 km/s levert op 3.0857x10¹⁷ seconden, oftewel 9.9 miljard jaar. Hetzelfde probleem treed op, wanneer ik de getallen neem van een heelal van 24 miljard jaar oud. Er gaat hier iets fout, maar ik zie nog niet wat.
 
Of is het misschien wel toevallig dat op dit moment de berekening (d/v) ongeveer precies klopt? Maar dat op andere momenten in de tijd deze berekening een andere uitkomst oplevert, en dat de berekening dus niet uitgevoerd mag worden? En dat dus de leeftijd van het heelal niet 1/H is? Dit is zomaar een idee wat zojuist bij mij op kwam borrelen...

[Michel Uphoff]

berekende Michel de leeftijd van het heelal, door een megaparsec te delen door de Hubble constante

 

En dat had hij niet zo moeten doen  ..

 

Ik deel een lengte-eenheid  door H, waarvan de dimensie 1/s is. Dat levert m.s op, en geen tijdseenheid.

 

De uitkomsten komen exact overeen met de afstand tot de Hubble sphere (zie de grafiek van Lineweaver).

 

H₀: 70 > 13,98 Gly

H_7,5: 100 > 9,78 Gly

H₂₄: 60 > 16,30 Gly
 
Ik nog even kijken hoe het met de juiste afleiding zit.

[Camiel Wijffels]

Waarvan akte.
 
Wanneer ik op internet zoek naar metingen van H in het verleden, kom ik alleen metingen tegen van H_{0 ,}en wel tot een maximale afstand van ongeveer 20 Mpc (grootte van de Virgo cluster). Bestaat de toename van H in het verleden dus louter uit theorie? Of liggen hier observaties aan ten grondslag?
 
En, als bovenstaande berekening voor de leeftijd van het heelal niet klopt, hoe wordt dan de leeftijd van het heelal bepaald (op vier decimalen)?

[Michel Uphoff]

Inderdaad betrof de berekening uit #4, de reistijd van het licht c.q. de afstand in lichtjaren van de Hubble sphere naar ons, zoals het kopje ook meldde. Ik heb de fout in de tekst aangepast.

 

Dus is de reistijd van licht vanaf de Hubble sphere (waar de recessiesnelheid c is) naar ons: 1/H

 

\(1/H_0 = \frac{1}{\frac {72000 m/s}{3,0857.10^{22}m}}= 4,2857.10^{17}s =13.58 Gyr\)

Zo kloppen de dimensies wel. Aan het ΛCDM model, waarmee de leeftijd van het heelal wordt berekend, liggen inderdaad een groot aantal metingen ten grondslag. Klopt het model niet, dan klopt de geschatte leeftijd van het heelal natuurlijk ook niet. De afbeelding in #8 geeft de tijd sedert de oerknal (schaalfactor 0) aan bij diverse aannames van parameters. Rekenen met alleen de Hubble constante geeft, zoals beschreven een heel grove indicatie, maar geen juiste leeftijd van het heelal als resultaat.

 

(op vier decimalen)

 
Grapje of typo?

[Camiel Wijffels]

typo - ik dacht op het moment van schrijven dat 13.82 miljard jaar vier decimalen (getallen) was. Het zijn er slechts twee (of drie wanneer je exponentiele notatie gebruikt).
 
Ik heb nog wel een vraag ivm de Hubble sphere. Als we in de ruimte kijken, kijken we altijd naar het verleden, tot miljarden jaren terug. We kunnen de Hubble sphere eenvoudig berekenen door 1/H₀, maar wanneer we halverwege de Hubble sphere zijn (wanneer het heelal ongeveer 7.5 miljard jaar oud is) dan is H al gelijk aan 100. En hoe verder we in het verleden kijken, hoe groter de waarde van H wordt. Dat betekent volgens mij dat de grootte van de Hubble sphere dus feitelijk toch behoorlijk kleiner is dan 1/H₀. Klopt die redenering?
 
Ik wil de wetenschap hier niet op een fout wijzen, want hiertoe ben ik te onkundig. Ik wil alleen begrijpen hoe sommige dingen in elkaar steken. Ik weet zeker dat de wetenschap hier wel degelijk rekening mee houdt, indien nodig.

[Michel Uphoff]

Klopt die redenering?

 
Hoogstwaarschijnlijk niet, maar ik kan hem ook niet echt volgen. Kan je met een uitgewerkt voorbeeld staven wat je beweert?

[Camiel Wijffels]

Ik zal het proberen uit te leggen wat ik bedoel. Ik heb ook een tekening bijgevoegd, waarin ik e.e.a. probeer te verduidelijken.
 
Wanneer we een constante Hubble constante aannemen van 70 km/s/MPc, en deze blijft altijd gelijk, dan ligt de Hubble Sphere (waar de snelheid c wordt overschreden) op een afstand van 4286 MPc.
 
1. Stel dat H echter afgelopen 3262 Myr constant was, namelijk 70 km/s/MPc. In die tijd (omdat 1 parsec = 3.262 lichtjaar) reisde het licht over een afstand van 1000 MPc. De Sphere (nog geen Hubble Sphere) die we op deze afstand krijgen heeft dan een straal van ongeveer 1000 MPc. De recessie snelheid op de rand van deze Sphere is 70.000 km/s.
 
2. Stel vervolgens dat tussen 3262 Myr en 6524 Myr geleden de Hubble constante groter was, namelijk 100 km/s/MPc. (de plotselinge overgang is alleen illustratief, deze is niet reeel). De Sphere die we dan krijgen (nog steeds geen Hubble Sphere) heeft een straal van ongeveer 2000 MPc. De recessie snelheid op de rand van deze Sphere is nu 170.000 km/s.
 
3. Stel tenslotte dat tussen 6524 Myr en 9786 Myr geleden de Hubble constante nog groter was, namelijk 140 km/s/MPc. Bij een afstand van 2925 MPc wordt de lichtsnelheid overschreden, waardoor de Hubble Sphere ook op deze afstand komt te liggen. De recessie snelheid op de rand van de Sphere is hier (uiteraard) 300.000 km/s.
 
Door de toenemende Hubble constante, ligt in dit geval (1. + 2. + 3.) de Hubble Sphere dus volgens mij op een afstand van 2925 MPc.
 
Ik kan me in de exacte getallen vergissen, maar wat hier belangrijk is, is de intentie van het verhaal. Dat is, dat wanneer we er van uitgaan dat de Hubble constante altijd hetzelfde gebleven is, we een andere waarde krijgen voor de afstand waarop de Hubble Sphere ligt, dan wanneer de Hubble constante in de loop van de tijd steeds kleiner is geworden. Dan ligt de Hubble Sphere volgens mij dus een stuk dichterbij.