door wnvl1 » ma 22 jun 2026, 23:54
Op zich kan het natuurlijk wel
Het grondtal van een positiestelsel hoeft geen geheel getal te zijn. In theorie kun je dus ook een positiestelsel met grondtal \(e\) definiëren. De voorstelling van een getal is dan echter meestal oneindig en niet uniek.
Voor het getal \(3\) zoeken we coëfficiënten \(a_k\) zodat
\[
3=\sum_{k=-\infty}^{N} a_k e^k,
\]
waarbij de cijfers \(a_k\) meestal gehele getallen zijn.
Omdat
\[
e^1=e\approx 2{,}718281828,
\]
kan men beginnen met
\[
3=e+0{,}281718172\ldots
\]
Nu schrijven we de rest opnieuw in machten van \(e\).
Aangezien
\[
e^{-1}\approx 0{,}367879441,
\]
is de rest kleiner dan \(e^{-1}\), zodat de coëfficiënt van \(e^{-1}\) gelijk is aan \(0\).
Vervolgens geldt
\[
e^{-2}\approx 0{,}135335283.
\]
De rest bevat tweemaal deze term:
\[
0{,}281718172
=
2e^{-2}+0{,}011047606.
\]
Daarna volgt
\[
e^{-3}\approx 0{,}049787068,
\]
zodat de volgende coëfficiënt opnieuw \(0\) is.
Het begin van de ontwikkeling luidt dus:
\[
3
=
1\cdot e
+0\cdot e^0
+0\cdot e^{-1}
+2\cdot e^{-2}
+\cdots
\]
of kortweg
\[
3=(1002\ldots)_e.
\]
Het verschil met bijvoorbeeld het decimale stelsel is dat een positiestelsel met een irrationeel grondtal zoals \(e\) veel minder mooie eigenschappen heeft. De representaties zijn doorgaans oneindig en de keuze van de toegelaten cijfers is niet vanzelfsprekend. Daarom wordt een grondtal \(e\) in de praktijk vrijwel nooit als getalstelsel gebruikt.
Op zich kan het natuurlijk wel
Het grondtal van een positiestelsel hoeft geen geheel getal te zijn. In theorie kun je dus ook een positiestelsel met grondtal \(e\) definiëren. De voorstelling van een getal is dan echter meestal oneindig en niet uniek.
Voor het getal \(3\) zoeken we coëfficiënten \(a_k\) zodat
\[
3=\sum_{k=-\infty}^{N} a_k e^k,
\]
waarbij de cijfers \(a_k\) meestal gehele getallen zijn.
Omdat
\[
e^1=e\approx 2{,}718281828,
\]
kan men beginnen met
\[
3=e+0{,}281718172\ldots
\]
Nu schrijven we de rest opnieuw in machten van \(e\).
Aangezien
\[
e^{-1}\approx 0{,}367879441,
\]
is de rest kleiner dan \(e^{-1}\), zodat de coëfficiënt van \(e^{-1}\) gelijk is aan \(0\).
Vervolgens geldt
\[
e^{-2}\approx 0{,}135335283.
\]
De rest bevat tweemaal deze term:
\[
0{,}281718172
=
2e^{-2}+0{,}011047606.
\]
Daarna volgt
\[
e^{-3}\approx 0{,}049787068,
\]
zodat de volgende coëfficiënt opnieuw \(0\) is.
Het begin van de ontwikkeling luidt dus:
\[
3
=
1\cdot e
+0\cdot e^0
+0\cdot e^{-1}
+2\cdot e^{-2}
+\cdots
\]
of kortweg
\[
3=(1002\ldots)_e.
\]
Het verschil met bijvoorbeeld het decimale stelsel is dat een positiestelsel met een irrationeel grondtal zoals \(e\) veel minder mooie eigenschappen heeft. De representaties zijn doorgaans oneindig en de keuze van de toegelaten cijfers is niet vanzelfsprekend. Daarom wordt een grondtal \(e\) in de praktijk vrijwel nooit als getalstelsel gebruikt.
