Formele en metaformele getallen

[kee]

Ok, veel succes. Ik hoop dat het een beetje klopt en dat het niet te veel gepruts vraagt mbt de commutativiteit.

[Bartjes]

Ok, veel succes. Ik hoop dat het een beetje klopt en dat het niet te veel gepruts vraagt mbt de commutativiteit.

Voor dat laatste heb ik net al een vrij lompe oplossing bedacht. Het is mogelijk ieder rijtje reële getallen en tekens (dus ook een formeel getal) in een uniek reëel getal te coderen. Van alle mogelijke representanten die door de commutativiteit uit elkaar kunnen worden verkregen neem je dan degene met de kleinste (of grootste) code.

[Bartjes]

Dat een standaardrepresentant volledig is "uitvermenigvuldigd" kan je volgens mij met de onderstaande eis verzekeren:

i. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s) van de vorm

\( (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

of

\( ((F) \clubsuit (G)) \, \diamondsuit \, (E) \)

waarbij E, F en G formele getallen zijn.

En dat je niet meer verder komt door het verwisselen van inwisselbare formele getallen kan volgens mij met onderstaande eis worden bewerkstelligd:

ii. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s)

\( (E) \clubsuit (F) \)

of

\( (E) \diamondsuit (F) \)

met een reële waarde ongelijk aan nul en waarbij E en F formele getallen zijn.

Tenslotte verzekert volgens mij onderstaande eis dat je via de omweg van de distributiviteit ook niet verder komt:

iii. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s) van de vorm

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

,

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

,

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

of

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

waarbij E, F en G formele getallen zijn en de reële waarde van

\( (F) \clubsuit (G) \)

ongelijk aan nul is.

(Maar iii. ben ik niet helemaal gerust op.)

[kee]

Wat bedoel je met i? Dat snap ik niet, maar wat ontbreekt er nog omtrent 'uitvermenigvuldigen' dat niet in ii zit?

[Bartjes]

Wat bedoel je met i? Dat snap ik niet, maar wat ontbreekt er nog omtrent 'uitvermenigvuldigen' dat niet in ii zit?

Zijn ii. en iii. al afdoende? (Even afgezien van commutatieve varianten.)

[Bartjes]

Criterium 2 voor standaardrepresentanten: de beide termen van elke optelling hebben reële waarde 0. Indien de termen beide een vermenigvuldiging zijn hebben ze geen factor gemeenschappelijk.

Dus is

\( ((0) \diamondsuit (0)) \, \clubsuit \, ((0) \diamondsuit (0)) \)

geen standaardrepresentant. Is het dan:

\( (0) \, \diamondsuit \, ((0) \clubsuit (0)) \)

?

In dat geval is het uitvermenigvuldigen inderdaad niet aan de orde, en had ik het verkeerd begrepen.

[Bartjes]

Is dit een goeie formalisering?

i. Voor alle stukjes in de standaardrepresentant van de vorm

\( (F) \clubsuit (G) \)

waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn geldt

\( \mbox{rw}(F) = 0 \)

en

\( \mbox{rw}(G) = 0 \)

.

ii. Voor alle stukjes in de standaardrepresentant van de vorm

\( (F) \diamondsuit (G) \)

waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn geldt

\( \mbox{rw}(F) = 0 \)

of

\( \mbox{rw}(G) = 0 \)

.

iii. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s) van de vorm

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

,

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

,

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

of

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

waarbij

\(E\)

,

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn en

\( \mbox{rw}((E) \diamondsuit (F)) = 0 \)

en

\( \mbox{rw}((E) \diamondsuit (G)) \, = \, 0 \)

.

[Bartjes]

Waarschijnlijk is dit beter:

i. Voor alle stukjes van de vorm

\( (F) \clubsuit (G) \)

in de standaardrepresentant waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn, geldt

\( \mbox{rw}((F) \clubsuit (G)) = 0 \)

.

ii. Voor alle stukjes van de vorm

\( (F) \diamondsuit (G) \)

in de standaardrepresentant waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn, geldt

\( \mbox{rw}((F) \diamondsuit (G)) = 0 \)

.

iii. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s) van de vorm

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

,

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

,

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

of

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

waarbij

\(E\)

,

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn en

\( \mbox{rw}((E) \diamondsuit (F)) = 0 \)

en

\( \mbox{rw}((E) \diamondsuit (G)) \, = \, 0 \)

.

Kunnen we met deze formalisering bewijzen dat er voor ieder metaformeel getal X een dergelijke standaardrepresentant is?

Laat X een willekeurig metaformeel getal zijn. Dan is er een formeel getal C zodat

\( X = [C]_{\heartsuit} \)

.

De ingewikkeldheid ing(A) van een formeel getal A definiëren we als het aantal reële getallen dat in de (uitgeschreven) uitdrukking A voorkomt.

Als een formeel getal A een stukje van de vorm

\( (F) \clubsuit (G) \)

bevat waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn en

\( \mbox{rw}((F) \clubsuit (G)) \neq 0 \)

, dan is A gelijkaardig aan het formele getal A' waarbij het stukje van de vorm

\( (F) \clubsuit (G) \)

door het reële getal

\( r \, = \, \mbox{rw}((F) \clubsuit (G)) \)

is vervangen. Daarbij geldt dan uiteraard ook ing(A') < ing(A). Omdat negatieve waarden voor de ingewikkeldheid niet kunnen voorkomen, zal een dergelijke vervanging na een eindig aantal opeenvolgende toepassingen een formeel getal B opleveren dat aan A gelijkaardig is en aan criterium i. voldoet.

Voor criterium ii. loopt de redenering analoog.

Over iii. moet ik nog even nadenken.

[Bartjes]

Waarschijnlijk beter voor iii. is:

iii. De standaardrepresentant bevat geen stukje(s) van de vorm

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

,

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

,

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

of

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

waarbij

\(E\)

,

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn.

Laat X een willekeurig metaformeel getal zijn. Dan is er een formeel getal C zodat

\( X = [C]_{\heartsuit} \)

.

Als een formeel getal A een stukje bevat van de vorm

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

,

\( ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

,

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

of

\( ((F) \diamondsuit (E)) \, \clubsuit \, ((G) \diamondsuit (E)) \)

waarbij

\(E\)

,

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn, kunnen we dat stukje door

\( (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

vervangen om zo een gelijkaardig formeel getal A' te krijgen. Daarbij geldt dan uiteraard ook ing(A') < ing(A). Omdat negatieve waarden voor de ingewikkeldheid niet kunnen voorkomen, zal een dergelijke vervanging na een eindig aantal opeenvolgende toepassingen een formeel getal B opleveren dat aan A gelijkaardig is en aan criterium iii. voldoet.

[Bartjes]

Bartjes, ik denk dat het verstandig is als je dit soort zaken gewoon in een document uitwerkt. Nu hebben we een topic van 33 berichten, allemaal afkomstig van jou, maar zonder enige reactie van andere gebruikers.

Het zou een stuk interessanter zijn als je een en ander eerst volledig uitwerkt in een document, en dan hier een samenvatting plaatst met de belangrijkste kenmerken en verworvenheden van je nieuwe getallensysteem.

De manier waarop het nu staat wekt nauwelijks interesse en maakt een discussie moeilijk. Dat kan niet de bedoeling zijn op een forum.

Een volledig uitgewerkt systeem heb ik nog niet, maar ik heb wel de berichtjes tot nu toe in een pdf weten te zetten. Een hele klus, maar iets dat sowieso wel handig is om te leren. Hier is die:

[attachment=9135:Formele_..._versie_.pdf]

Commentaar is uiteraard welkom!

[kee]

Zoals je al gezien hebt zat ik fout met criterium 2, jij doet het wel goed. Bij iii zoals in je laatste post, meer is idd niet nodig. Ziet er goed uit zo ver.

[Bartjes]

Zoals je al gezien hebt zat ik fout met criterium 2, jij doet het wel goed. Bij iii zoals in je laatste post, meer is idd niet nodig. Ziet er goed uit zo ver.

Hartelijk dank - zo kan ik weer verder.

[Bartjes]

Het lukt mij om volgens de boven aangegeven manier te bewijzen dat ieder metaformeel getal minstens één formeel getal bevat dat aan de vermelde criteria voldoet. Ik noem dat een 'net' formeel getal.

Maar hoe kiezen we daaruit de "beste" representant? Of zou het beter zijn om zo'n keuze gewoon achterwege te laten, en ons tevreden te stellen met het feit dat er altijd minstens één nette representant is? Iemand nog tips?

[Bartjes]

Een "beste" representant is in het geval van metaformele getallen met gereduceerde waarde nul waarschijnlijk meestal niet te vinden. Dat wil zeggen dat er niet een bepaalde representant is die er als eenvoudigste vorm uit springt.

Laat:

\( a \neq 0 \)

.

Dan geldt, omdat de gelijkaardigheid een equivalentierelatie is, dat:

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, ((a) \diamondsuit (1)) \, \clubsuit \, ((a) \diamondsuit (-1)) \)

(volgens 3., 7. en 9.)

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, (a) \, \diamondsuit \, ((1) \, \clubsuit \, (-1)) \)

(volgens 5. regel v., 7. en 9.)

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, (a) \, \diamondsuit \, ((-1) \, \clubsuit \, (1)) \)

(volgens 5. regel ii., 7. en 9.)

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, ((a) \diamondsuit (-1)) \, \clubsuit \, ((a) \diamondsuit (1)) \)

(volgens 5. regel iv., 7. en 9.)

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, ((-a) \diamondsuit (1)) \, \clubsuit \, ((-a) \diamondsuit (-1)) \)

(volgens 3., 7. en 9.)

\( (a) \clubsuit (-a) \,\, \heartsuit \,\, (-a) \, \diamondsuit \, ((1) \, \clubsuit \, (-1)) \)

(volgens 5. regel v., 7. en 9.)

Oftewel:

\( (a) \clubsuit (-a) \,\,\, \heartsuit \,\,\, (a) \, \diamondsuit \, ((1) \, \clubsuit \, (-1)) \,\,\, \heartsuit \,\,\, (-a) \diamondsuit ((1) \, \clubsuit \, (-1)) \)

.

Dit zijn alle drie nette formele getallen (d.w.z. zij voldoen aan de drie criteria). Bovendien zijn zij representanten van hetzelfde metaformele getal. Maar er is er van die drie niet een die duidelijk het meest geschikt is als "standaard"representant. Daarom stel ik mij tevreden met het feit dat er voor ieder metaformeel getal met gereduceerde waarde nul minstens één nette representant is.

[kee]

Dat was nu net niet de bedoeling. Probleem is duidelijk de 1-1 (ik bedoel

\(((1) \, \clubsuit \, (-1))\)

). Best zou misschien zijn dat je "1-1 door i vervangt". Rigoureus definieer je het metaformeel getal i en de regels

\(((1) \, \clubsuit \, (-1))\,\,\,\heartsuit\,\,\, i\)

en

\(\text{rw}(i)=0\)

. En dan toch de 1e voorwaarde strenger maken door te zeggen

i. Voor alle stukjes van de vorm

\( (F) \clubsuit (G) \)

in de standaardrepresentant waarbij

\(F\)

en

\(G\)

formele getallen zijn, geldt

\( \text{rw}(F)=\text{rw}(G) = 0 \)

.

Werkt dit zo?

Opmerking (is reeds gezegd): Het is moeilijk lezen zo. Gebruik van +, . en = ipv

\(\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit\)

zoals normaal gedaan wordt zou het gemakkelijker maken, en er is geen reden om dat niet te doen (buiten dat je er eerst eens moet bijzetten dat je binnen de metaformele getallen rekent).